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绝密★启用前试卷类型A2019-2020年高考试题——理科数学(广东卷)解析版本试卷共4页,21小题,满分150分考试用时120分钟注意事项1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4.作答选做题时.请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答漏涂、错涂、多涂的.答案无效5.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后,将试卷和答题卡一并交回
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,,则集合A.B.C.D.2.若复数,,则A.4B.2+iC.2+2iD.33.若函数与的定义域均为R,则A.与均为偶函数B.为奇函数,为偶函数C.与均为奇函数D.为偶函数.为奇函数4.已知数列为等比数列,是是它的前n项和若,且与2的等差中项为,则A.35B.33C.3lD.295.“”是“一元二次方程有实数解”的A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6.如图1,为正三角形,,,,则多面体的正视图(也称主视图)是7.已知随机变量服从正态分布,且,则A.
0.1588B.
0.1587C.
0.1586D.
0.15858.为了迎接xx年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
2、填空题本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分
(1)必做题9~13题9.函数,的定义域是.10.若向量,,,满足条件,则.11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.12.若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是.13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中位居民的月均用水量分别为单位吨.根据图2所示的程序框图,若,且,分别为1,,则输出的结果为.
(2)选做题(
14、15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图3,是半径为的圆的两条弦,他们相交于AB的中点P,,,则=_________.15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)()中,曲线与的交点的极坐标为______________.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分l4分)已知函数在时取得最大值4
(1)求的最小正周期;
(2)求的解析式;
(3)若,求17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位克),重量的分组区间为(490495],(495500],……,(510515],由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列
(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率18.本小题满分14分如图5,是半径为的半圆,为直径,点为的中点,点和点为线段的三等分点,平面外一点满足,
(1)证明;(2已知点为线段上的点,,,求平面与平面所成二面角的正弦值
19.(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是
2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐
20.(本小题满分14分)已知双曲线的左、右顶点分别为,点,是双曲线上不同的两个动点
(1)求直线与交点的轨迹的方程;(2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点,且,求的值
21.本小题满分14分设,是平面直角坐标系上的两点,现定义由点到点的一种折线距离为对于平面上给定的不同的两点,
(1)若点是平面上的点,试证明
(2)在平面上是否存在点,同时满足
①②若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明xx年普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学理科参考答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.D.【解析】.2.A.【解析】3.B.【解析】.4.C.【解析】设{}的公比为,则由等比数列的性质知,,即由与2的等差中项为知,,.∴,即.,,.5.A.【解析】由知,.(或由得,),反之不成立,故选A6.D.7.B.【解析】8.C.【解析】共有5!=120个不同的闪烁,每个闪烁时间为5秒,共5×120=600秒;每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5×(120—1)=595秒那么需要的时间至少是600+595=1195秒
二、填空题本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.9..【解析】由,得,所以函数的定义域为.10.2.【解析】,,解得.11..【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知,B=60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,于是.12..【解析】设圆心为,则,解得.13..14..【解析】因为点P是AB的中点,由垂径定理知,.在中,.由相交弦定理知,,即,所以.15..【解法1】两条曲线的普通方程分别为.解得由得点的极坐标为.【解法2】由得,,或,或(舍),从而,交点坐标为
三、解答题本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.,,,,.17.
(1)重量超过505克的产品数量是件;
(2)Y的所有可能取值为0,1,2;,,,Y的分布列为
(3)从流水线上任取5件产品,恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为18.
(1)证明连结,因为是半径为的半圆,为直径,点为的中点,所以在中,在中,,为等腰三角形,且点是底边的中点,故在中,,所以为,且因为,,且,所以平面,而平面,因为,,且,所以平面,而平面,
(2)设平面与平面RQD的交线为.由,,知.而平面,∴平面,而平面平面=,∴.由
(1)知,平面,∴平面,而平面,∴,,∴是平面与平面所成二面角的平面角.在中,,,.在中,由知,,由余弦定理得,由正弦定理得,,即,故平面与平面所成二面角的正弦值为19.解设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则,且满足以下条件即作直线,平移直线至,当经过C点时,可使达到最小值由即,此时,答:午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位,花费最少z=22元20.
(1)解由为双曲线的左右顶点知,,,两式相乘,因为点在双曲线上,所以,即,故,所以,即直线与交点的轨迹的方程为.
(2)解法1设,则由知,将代入得,即,由与E只有一个交点知,,即同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而[来,又,解法2由题意知直线和都是椭圆E的切线,由对称性知,两直线的倾斜角分别为和,设其方程为,代入椭圆E的方程得,即由得,即,,21.
(1)证明由绝对值不等式知,当且仅当且时等号成立
(2)解由得且(Ⅰ)由得(Ⅱ)因为,是不同的两点,则若且,不妨设,由(Ⅰ)得且,由(Ⅱ)得,此时,点是线段的中点,即只有点满足条件;若且,同理可得只有的中点满足条件;若且,不妨设且,由(Ⅰ)得且,由(Ⅱ)得,此时,所有符合条件的点的轨迹是一条线段,即过的中点,斜率为的直线夹在矩形之间的部分,其中,,,图33x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC
2.5x+4y=0Oyx。