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2019-2020年高中物理第五章曲线运动4圆周运动教学案新人教版必修2[学习目标]
1.知道什么是匀速圆周运动,知道它是变速运动.
2.掌握线速度的定义式,理解线速度的大小、方向的特点.
3.掌握角速度的定义式,知道周期、转速的概念.
4.理解掌握公式v=ωr和ω=2πn.
一、线速度
1.定义物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值,v=.
2.意义描述做圆周运动的物体运动的快慢.
3.方向线速度是矢量,方向与圆弧相切,与半径垂直.
4.匀速圆周运动1定义沿着圆周运动,并且线速度大小处处相等的运动.2性质线速度的方向是时刻变化的,所以是一种变速运动.
二、角速度
1.定义连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值,ω=.
2.意义描述物体绕圆心转动的快慢.
3.单位1角的单位国际单位制中,弧长与半径的比值表示角的大小,称为弧度,符号rad.2角速度的单位弧度每秒,符号是rad/s或rad·s-
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三、周期和转速
1.周期T做圆周运动的物体转过一周所用的时间,单位秒s.
2.转速n单位时间内转过的圈数,单位转每秒r/s或转每分r/min.
3.周期和转速的关系T=n单位r/s时.
四、线速度与角速度的关系
1.在圆周运动中,线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.
2.公式v=ωr.[即学即用]
1.判断下列说法的正误.1匀速圆周运动是一种匀速运动.×2做匀速圆周运动的物体,相同时间内位移相同.×3做匀速圆周运动的物体,其合外力不为零.√4做匀速圆周运动的物体,其线速度不变.×5做匀速圆周运动的物体,其角速度大小不变.√6做匀速圆周运动的物体,周期越大,角速度越小.√
2.A、B两个质点,分别做匀速圆周运动,在相等时间内它们通过的弧长比sA∶sB=2∶3,转过的圆心角比θA∶θB=3∶2,那么它们的线速度之比vA∶vB=________,角速度之比ωA∶ωB=________.答案 2∶3 3∶2解析 由v=知=;由ω=知=.
一、线速度和匀速圆周运动[导学探究] 如图1所示为自行车的车轮,A、B为辐条上的两点,当它们随轮一起转动时,回答下列问题图11A、B两点的速度方向沿什么方向?2A、B两点在相同的时间内沿圆弧运动的轨迹长度相同吗?哪个运动得快?3如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等,B做匀速运动吗?4匀速圆周运动的线速度是不变的吗?匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗?答案 1两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向.2B运动的轨迹长,B运动得快.3B运动的速率不变,但B运动的方向时刻变化,故B做非匀速运动.4质点做匀速圆周运动时,线速度的大小不变,方向时刻在变化,因此,匀速圆周运动不是线速度不变的运动,只是速率不变,是变速曲线运动.而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变,是大小、方向都不变,二者并不相同.[知识深化]
1.对线速度的理解1线速度是物体做圆周运动的瞬时速度,线速度越大,物体运动得越快.2线速度是矢量,它既有大小,又有方向,线速度的方向在圆周各点的切线方向上.3线速度的大小v=,Δs代表弧长.
2.对匀速圆周运动的理解1匀中有变由于匀速圆周运动是曲线运动,其速度方向沿着圆周的切线方向,所以物体做匀速圆周运动时,速度的方向时刻在变化.2匀速的含义
①速度的大小不变,即速率不变.
②转动快慢不变,即角速度大小不变.3运动性质线速度的方向时刻改变,所以匀速圆周运动是一种变速运动.例1 多选某质点绕圆轨道做匀速圆周运动,下列说法中正确的是 A.因为它速度大小始终不变,所以它做的是匀速运动B.它速度大小不变,但方向时刻改变,是变速运动C.该质点速度大小不变,因而加速度为零,处于平衡状态D.该质点做的是变速运动,具有加速度,故它所受合力不等于零答案 BD
二、角速度、周期和转速[导学探究] 如图2所示,钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.图21秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗?如何比较它们转动的快慢?2秒针、分针和时针的周期分别是多大?答案 1不相同.根据角速度公式ω=知,在相同的时间内,秒针转过的角度最大,时针转过的角度最小,所以秒针转得最快.2秒针周期为60s,分针周期为60min,时针周期为12h.[知识深化]
1.对角速度的理解1角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢,角速度越大,物体转动得越快.2角速度的大小ω=,Δθ代表在时间Δt内,物体与圆心的连线转过的角度.3在匀速圆周运动中,角速度大小不变,是恒量.
2.对周期和频率转速的理解1周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性.其具体含意是,描述匀速圆周运动的一些变化的物理量,每经过一个周期时,大小和方向与初始时刻完全相同,如线速度等.2当单位时间取1s时,f=n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的,但频率具有更广泛的意义,两者的单位也不相同.
3.周期、频率和转速间的关系T==.例2 多选一精准转动的机械钟表,下列说法正确的是 A.秒针转动的周期最长B.时针转动的转速最小C.秒针转动的角速度最大D.秒针的角速度为rad/s答案 BCD解析 秒针转动的周期最短,角速度最大,A错误,C正确;时针转动的周期最长,转速最小,B正确;秒针的角速度为ω=rad/s=rad/s,故D正确.
三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系[导学探究] 线速度、角速度、周期都是用来描述圆周运动快慢的物理量,它们的物理含义不同,但彼此间却相互联系.1线速度与周期及转速的关系是什么?2角速度与周期及转速的关系是什么?3线速度与角速度什么关系?答案 1物体转动一周的弧长Δs=2πr,转动一周所用时间为Δt=T,则v===2πrn.2物体转动一周转过的角度为Δθ=2π,用时为T,则ω==2πn.3v=ωr.[知识深化]
1.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系1v===2πnr2ω===2πn3v=ωr
2.描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解1角速度、周期、转速之间关系的理解物体做匀速圆周运动时,由ω==2πn知,角速度、周期、转速三个物理量,只要其中一个物理量确定了,其余两个物理量也确定了.2线速度与角速度之间关系的理解由v=ω·r知,r一定时,v∝ω;v一定时,ω∝;ω一定时,v∝r.例3 做匀速圆周运动的物体,10s内沿半径为20m的圆周运动100m,试求物体做匀速圆周运动时1线速度的大小;2角速度的大小;3周期的大小.答案 110m/s
20.5rad/s 34πs解析 1依据线速度的定义式v=可得v==m/s=10m/s.2依据v=ωr可得,ω==rad/s=
0.5rad/s.3T==s=4πs.
四、同轴转动和皮带传动问题[导学探究] 如图3为两种传动装置的模型图.图31甲图为皮带传动装置,试分析A、B两点的线速度及角速度关系.2乙图为同轴传动装置,试分析A、C两点的角速度及线速度关系.答案 1皮带传动时,在相同的时间内,A、B两点通过的弧长相等,所以两点的线速度大小相同,又v=rω,当v一定时,角速度与半径成反比,半径大的角速度小.2同轴传动时,在相同的时间内,A、C两点转过的角度相等,所以这两点的角速度相同,又因为v=rω,当ω一定时,线速度与半径成正比,半径大的线速度大.[知识深化] 常见的传动装置及其特点同轴传动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同规律线速度与半径成正比=角速度与半径成反比=.周期与半径成正比=角速度与半径成反比=.周期与半径成正比=例4 多选如图4所示的传动装置中,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,A、B两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑,则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的 图4A.角速度之比为1∶2∶2B.角速度之比为1∶1∶2C.线速度大小之比为1∶2∶2D.线速度大小之比为1∶1∶2答案 AD解析 A、B两轮通过皮带传动,皮带不打滑,则A、B两轮边缘的线速度大小相等,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,则B、C两轮的角速度相等.a、b比较va=vb由v=ωr得ωa∶ωb=rB∶rA=1∶2b、c比较ωb=ωc由v=ωr得vb∶vc=rB∶rC=1∶2所以ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2va∶vb∶vc=1∶1∶2故A、D正确.识记传动装置的两个重要特点1固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同.2不打滑的摩擦传动包括皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.例5 一个圆环,以竖直直径AB为轴匀速转动,如图5所示,求环上M、N两点的图51线速度的大小之比;2角速度之比.答案 1∶1 21∶1解析 M、N是同一环上的两点,它们与环具有相同的角速度,即ωM∶ωN=1∶1,两点做圆周运动的半径之比rM∶rN=sin60°∶sin30°=∶1,故vM∶vN=ωMrM∶ωNrN=∶
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1.对匀速圆周运动的认识对于做匀速圆周运动的物体,下列说法中不正确的是 A.相等的时间内通过的路程相等B.相等的时间内通过的弧长相等C.相等的时间内通过的位移相等D.在任何相等的时间里,连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案 C解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动,因此在相等时间内通过的路程相等,弧长相等,转过的角度也相等,A、B、D项正确;相等时间内通过的位移大小相等,方向不一定相同,故C项错误.
2.描述圆周运动各量的关系关于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是 A.因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等,所以线速度恒定B.如果物体在
0.1s内转过30°角,则角速度为300rad/sC.若半径r一定,则线速度与角速度成反比D.若半径为r,周期为T,则线速度为v=答案 D解析 物体做匀速圆周运动时,线速度大小恒定,方向沿圆周的切线方向,在不断地改变,故选项A错误;角速度ω==rad/s=rad/s,选项B错误;线速度与角速度的关系为v=ωr,由该式可知,r一定时,v∝ω,选项C错误;由线速度的定义可得,在转动一周时有v=,选项D正确.
3.传动问题分析如图6所示,甲、乙、丙三个齿轮的半径分别为r
1、r
2、r3,并且r1<r2<r
3.若甲齿轮的角速度为ω1,则丙齿轮的角速度为 图6A.B.C.D.答案 A解析 甲、乙、丙三个齿轮边缘上各点的线速度大小相等,即r1ω1=r2ω2=r3ω3,所以ω3=,选项A正确.
4.圆周运动的周期性如图7所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,要使球与盘只碰一次,且落点为B,求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小.图7答案 R 2nπn=123…解析 设球在空中运动时间为t,此圆盘转过θ角.则R=vt,h=gt2故初速度v=Rθ=n·2πn=123…又因为θ=ωt则圆盘角速度ω==2nπn=123….课时作业
一、选择题1~6为单项选择题,7~11为多项选择题
1.用细线拴住一个小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动,下列描述小球运动的物理量发生变化的是 A.速率B.线速度C.周期D.角速度答案 B解析 做匀速圆周运动的小球的速度大小恒定,线速度变化,匀速圆周运动的周期和角速度恒定,B符合题意,A、C、D不符合题意.
2.一质点做匀速圆周运动时,圆的半径为r,周期为4s,那么1s内质点的位移大小和路程分别是 A.r和B.和C.r和rD.r和答案 D解析 质点在1s内转过了圈,画出运动过程的示意图可求出这段时间内的位移为r,路程为,所以选项D正确.
3.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系,下面说法中正确的是 A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小答案 D解析 由v=ωr可知,当r一定时,v与ω成正比;v一定时,ω与r成反比,故A、C均错误.由v=可知,当r一定时,v越大,T越小,B错误.由ω=可知,ω越大,T越小,故D正确.
4.如图1所示是一个玩具陀螺.a、b和c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,下列表述正确的是 图1A.a、b和c三点的线速度大小相等B.a、b和c三点的角速度大小相等C.a、b的角速度比c的大D.c的线速度比a、b的大答案 B解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动,因此角速度相同,c的半径最小,故它的线速度最小,a、b的半径相同,二者的线速度大小相等,故选B.图
25.两个小球固定在一根长为L的杆的两端,绕杆上的O点做圆周运动,如图2所示.当小球1的速度为v1时,小球2的速度为v2,则转轴O到小球2的距离是 A.B.C.D.答案 B解析 两球在同一杆上,旋转的角速度相等,均为ω,设两球的转动半径分别为r
1、r2,则r1+r2=L.又知v1=ωr1,v2=ωr2,联立得r2=,B正确.
6.如图3所示,一位同学做飞镖游戏,已知圆盘的直径为d,飞镖距圆盘L,且对准圆盘上边缘的A点水平抛出,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动,角速度为ω.若飞镖恰好击中A点,则下列关系正确的是 图3A.dv=L2gB.ωL=π1+2nv0n=0123…C.v0=ωD.dω2=gπ21+2n2n=0123…答案 B解析 依题意飞镖做平抛运动的同时,圆盘上A点做匀速圆周运动,恰好击中A点,说明A正好在最低点被击中,则A点转动的时间t=,平抛的时间t=,则有=n=0123,…,B正确,C错误;平抛的竖直位移为d,则d=gt2,联立有dω2=gπ22n+12n=0123,…,A、D错误.
7.质点做匀速圆周运动时,下列说法中正确的是 A.因为v=ωr,所以线速度v与轨道半径r成正比B.因为ω=,所以角速度ω与轨道半径r成反比C.因为ω=2πn,所以角速度ω与转速n成正比D.因为ω=,所以角速度ω与周期T成反比答案 CD解析 当ω一定时,线速度v才与轨道半径r成正比,所以A错误.当v一定时,角速度ω才与轨道半径r成反比,所以B错误.在用转速或周期表示角速度时,角速度与转速成正比,与周期成反比,故C、D正确.
8.甲、乙两个做匀速圆周运动的质点,它们的角速度之比为3∶1,线速度之比为2∶3,那么下列说法中正确的是 A.它们的半径之比为2∶9B.它们的半径之比为1∶2C.它们的周期之比为2∶3D.它们的周期之比为1∶3答案 AD解析 由v=ωr,得r=,==,A对,B错;由T=,得T甲∶T乙=∶=1∶3,C错,D对.
9.如图4所示为皮带传动装置,主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮,O2上的轮半径为r′,已知R=2r,r′=R,设皮带不打滑,则 图4A.ωA∶ωB=1∶1B.vA∶vB=1∶1C.ωB∶ωC=2∶3D.vA∶vC=2∶1答案 AC解析 研究A、B两点A、B两点角速度相同==;研究B、C两点B、C两点线速度大小相同==.
10.如图5所示,一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N,木块M放在圆盘的边缘处,木块N放在离圆心r的地方,它们都随圆盘一起运动.比较两木块的线速度和角速度,下列说法中正确的是 图5A.两木块的线速度大小相等B.两木块的角速度相等C.木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍D.木块M的角速度大小是木块N的角速度大小的3倍答案 BC解析 由转动装置特点知,M、N两木块有相同的角速度,又由v=ωr知,因rN=r,rM=r,故木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍,选项B、C正确.
11.如图6所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r
2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是 图6A.从动轮做顺时针转动B.从动轮做逆时针转动C.从动轮的转速为nD.从动轮的转速为n答案 BC解析 主动轮顺时针转动时,皮带带动从动轮逆时针转动,A项错误,B项正确;由于两轮边缘线速度大小相同,根据v=2πrn,可得两轮转速与半径成反比,所以C项正确,D项错误.
二、非选择题
12.一汽车发动机的曲轴每分钟转2400周,求1曲轴转动的周期与角速度.2距转轴r=
0.2m点的线速度.答案 1s 80πrad/s 216πm/s解析 1由于曲轴每秒钟转=40周,周期T=s;而每转一周为2πrad,因此曲轴转动的角速度ω=2π×40rad/s=80πrad/s.2已知r=
0.2m,因此这一点的线速度v=ωr=80π×
0.2m/s=16πm/s.
13.如图7所示为皮带传动装置,皮带轮的圆心分别为O、O′,A、C为皮带轮边缘上的点,B为AO连线上的一点,RB=RA,RC=RA,当皮带轮匀速转动时,皮带与皮带轮之间不打滑,求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比.图7答案 2∶2∶3 2∶1∶2解析 由题意可知,A、B两点在同一皮带轮上,因此ωA=ωB,又皮带不打滑,所以vA=vC,故可得ωC===ωA,所以ωA∶ωB∶ωC=ωA∶ωA∶ωA=2∶2∶
3.又vB=RB·ωB=RA·ωA=,所以vA∶vB∶vC=vA∶vA∶vA=2∶1∶
2.
14.如图8所示,半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动,轮上a、b两点与O的连线相互垂直,a、b两点均粘有一个小物体,当a点转至最低位置时,a、b两点处的小物体同时脱落,经过相同时间落到水平地面上.图81试判断圆轮的转动方向说明判断理由.2求圆轮转动的角速度大小.答案 见解析解析 1由题意知,a物体做平抛运动,若与b点物体下落的时间相同,则b物体必须做竖直下抛运动,故知圆轮转动方向为逆时针转动.2a平抛R=gt2
①b竖直下抛2R=v0t+gt2
②由
①②得v0=
③又因ω=
④由
③④解得ω=.。