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文本内容:
2019年高三上学期期末数学理试题含答案注意事项
1、答卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上
2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上
3、不可以使用计算器
4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数,,则在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集是实数集则图中阴影部分所表示的集合是()A.B.C.D.3.已知平面向量,,若∥,则等于A.B.C.D.4.定义某种运算,运算原理如上图所示,则式子的值为()A.4B.8C.11D.135.把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为()A.B.C.D.6.下列四个命题中,正确的有
①两个变量间的相关系数越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
②命题“,”的否定“,”;
③用相关指数来刻画回归效果,若越大,则说明模型的拟合效果越好;
④若,,,则.A.
①③④B.
①④C.
③④D.
②③7.对、,运算“”、“”定义为=,=,则下列各式其中不恒成立的是() ⑴⑵⑶⑷A.⑴、⑶B.⑵、⑷C.⑴、⑵、⑶D.⑴、⑵、⑶、⑷
8.已知函数满足,且时,,则当时,与的图象的交点个数为A.13B.12C.11D.10
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9.已知函数,则.10.如图,一不规则区域内,有一边长为米的正方形,向区域内随机地撒颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米.(用分数作答)11.在二项式的展开式中,含的项的系数是.12.已知则.13.已知数列为等差数列,若,,则.14.如图,且,若,(其中),则终点落在阴影部分(含边界)时,的取值范围是.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题满分12分)设平面向量,,函数.(Ⅰ)求函数的值域和函数的单调递增区间;(Ⅱ)当且时求的值.16.(本题满分12分)某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分和众数;(Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望.17.(本小题满分14分)如图,在底面是矩形的四棱锥中,⊥平面,,.是的中点,(Ⅰ)求证平面⊥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值18.(本小题满分14分)数列{}的前n项和为,.(Ⅰ)设,证明数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅲ)若,数列的前项和,证明.19.(本小题满分14分)已知函数,.(Ⅰ)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;(Ⅱ)设函数,求证20.(本题满分14分)已知函数,(其中为常数);(Ⅰ)如果函数和有相同的极值点,求的值;(Ⅱ)设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.中山市高三级xx学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.DAADBCBC
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,满分30分.
9.;
10.
11.;
12.;
13.45;
14.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题满分12分)设平面向量,,函数(Ⅰ)求函数的值域和函数的单调递增区间;(Ⅱ)当且时求的值.15.解依题意………(2分)………………………………………………(4分)(Ⅰ)函数的值域是;………………………………………………(5分)令,解得………………(7分)所以函数的单调增区间为.……………………(8分)(Ⅱ)由得因为所以得………………………(10分)……………………………………………………………………(12分)16.本题满分12分某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分;(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望.
16.解(I)利用中值估算抽样学生的平均分45×
0.05+55×
0.15+65×
0.2+75×
0.3+85×
0.25+95×
0.05=
72.……………(3分)众数的估计值为75分……………(5分)所以,估计这次考试的平均分是72分.……………(6分)(注这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)(II)从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是,有15种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是
0.005×10×80=4(人),这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是,两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率……………(8分)随机变量的可能取值为
0、
1、
2、3,则有.∴∴变量的分布列为0123P…………(10分)…………(12分)解法二.随机变量满足独立重复试验所以为二项分布即………(10分)…………(12分)17.(本小题满分14分)如图,在底面是矩形的四棱锥中,⊥平面,,.是的中点,(Ⅰ)求证平面⊥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值17.解法一(Ⅰ),,.---------------------------------------------------------------------------------(2分).而平面.………………………(4分).………………………(5分)(Ⅱ)连结、,取中点,连结,则∵平面,∴平面.过作交于,连结,则就是二面角所成平面角.………………………(7分)由,则.在中,解得.因为是的中点,所以.………………………(8分)而,由勾股定理可得.………………………(9分).………………………(10分)(Ⅲ)延长,过作垂直于,连结,又∵,∴⊥平面,过作垂直于,则所以平面即平面,所以在平面内的射影是,是直线与平面所成的角.………………………(12分)...……………(14分)解法二以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则0,0,02,0,02,4,00,4,0,0,2,10,0,
2.……………………(2分)∴=2,0,0=0,4,0=0,0,2=-2,0,0=0,2,1=2,4,
0. ……………………(3分)(Ⅰ).又. ………………………(5分)而∴平面⊥平面. ………(7分)(Ⅱ)设平面的法向量=令,则.由即∴=.………………………(9分)平面的法向量=0,0,
2.所以二面角所成平面角的余弦值是.……………………(11分)(Ⅲ)因为平面的法向量是=,而=-2,0,
0.所以.………………………(13分)直线与平面所成角的正弦值.………………………(14分)18.(本小题满分14分)数列{}的前n项和为,.(I)设,证明数列是等比数列;(II)求数列的前项和;(Ⅲ)若,数列的前项和,证明.18.【解析】(I)因为,所以
①当时,,则,………………………………(1分)
②当时,,……………………(2分)所以,即,所以,而,……………………(3分)所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.…………(4分)(II)由1得.所以
①,
②,……………(5分)
②-
①得,……………(7分).……………(9分)(III)由I知……………(10分)
(1)当时,成立;……………(11分)
(2)当时,,,………………(13分)所以.………(14分)(本题放缩方法不唯一请酌情给分)
19.已知函数,.(I)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;(II)设函数,求证
19.解:(Ⅰ)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.………(1分)由得.
①当时,.此时在上单调递增.故,符合题意.…(3分)
②当时,.当变化时的变化情况如下表……………………(4分)单调递减极小值单调递增由此可得,在上,.依题意,,又.综合
①,
②得,实数的取值范围是.………………(7分)(Ⅱ),又,……………………(10分),……………………(12分)由此得:故成立.………………(14分)20.(本题满分14分)已知函数,(其中为常数);(I)如果函数和有相同的极值点,求的值;(II)设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.(III)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.20.解(I),则,令,得或,而在处有极大值,∴,或;综上或.………………………………(3分)(II)假设存在,即存在,使得,当时,又,故,则存在,使得,………………………………(4分)当即时,得,;………………………………(5分)当即时,得,………(6分)无解;综上.………………………………(7分)(III)据题意有有3个不同的实根,有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.(ⅰ)有2个不同的实根,只需满足;………………………………(8分)(ⅱ)有3个不同的实根,当即时,在处取得极大值,而,不符合题意,舍;………………………………(9分)当即时,不符合题意,舍;当即时,在处取得极大值,;所以;………………………………(10分)因为(ⅰ)(ⅱ)要同时满足,故;(注也对)…………………(11分)下证这5个实根两两不相等,即证不存在使得和同时成立;若存在使得,由,即,得,当时,,不符合,舍去;当时,既有
①;又由,即
②;联立
①②式,可得;而当时,没有5个不同的零点,故舍去,所以这5个实根两两不相等.综上,当时,函数有5个不同的零点.………………………(14分)(第2题图)(第4题图)PBEDCAPBEDCAPBEDCAOFGHPBEDCAxyz。