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课时作业十九[
19.1 多边形内角和]
一、选择题1．八边形的内角和为 A．180°B．360°C．1080°D．1440°2．正十边形的每个外角都等于 A．18°B．36°C．45°D．60°3．xx·乌鲁木齐一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 A．4B．5C．6D．74．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点．若把这个n边形分割成6个三角形，则n的值是 A．6B．7C．8D．95．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是 A．abB．a＝bC．abD．b＝a＋180°6．若一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是 A．6B．7C．8D．97．xx·济宁如图K－19－1，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为 A．50°B．55°C．60°D．65°图K－19－1 图K－19－28．如图K－19－2所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，她第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 A．140米B．150米C．160米D．240米9．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为 A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9
二、填空题10．五边形的内角和是________．11．xx·怀化一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．12．学校门口的电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有________．13．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．14．若n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引出对角线的条数是________．15．如图K－19－3，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为________．图K－19－3 图K－19－416．如图K－19－4，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________°.
三、解答题17．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的度数．18．如果一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个正多边形的内角和及对角线的总条数.19．若一个多边形的外角和与内角和之比为2∶9，求这个多边形的边数及内角和.20．如图K－19－5，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB于点F，求∠CDF的度数．图K－19－521．已知n边形的内角和θ＝n－2·180°.1甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．2若n边形变为n＋x边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.请仔细观察下列各辅助线的作法，从图K－19－6中任选一个，证明多边形内角和定理n边形的内角和等于n－2·180°n为不小于3的整数．下面已给出已知、求证，请把你选择的方法及证明多边形内角和定理的过程写出来．图K－19－6方法一如图
①，在n边形A1A2A3A4A5…An内任取一点O，连接O与各个顶点；方法二如图
②，作过顶点A1的所有对角线；方法三如图
③，在n边形的边A1A2上任取一点P点P与点A1，A2不重合，连接P与各顶点．已知n边形A1A2A3A4A5…An.求证n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于n－2·180°n为不小于3的整数．详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]C 根据多边形的内角和公式n－2·180°，将n＝8代入公式，可知C选项正确．2．[解析]B 360°÷10＝36°，所以正十边形的每个外角都等于36°.故选B.3．[答案]C4．[解析]C 由题意，得n－2＝6，解得n＝
8.故选C.5．[解析]B ∵四边形的内角和等于a，∴a＝4－2·180°＝360°.∵五边形的外角和等于b，∴b＝360°，∴a＝b.故选B.6．[解析]A 设这个多边形有n条边，则＝9，解得n1＝6，n2＝－3舍去，故这个多边形的边数为
6.故选A.7．[解析]C ∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.又∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC＋∠PCD＝120°，∴在△CDP中，∠P＝180°－∠PDC＋∠PCD＝180°－120°＝60°.故选C.8．[解析]B ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角均为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小华一共走了15×10＝150米．故选B.9．[解析]D 设切去一个角后的多边形为n边形，根据题意，有n－2·180°＝1080°，解得n＝
8.而一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能如图比原多边形边数多
1、与原多边形边数相等、比原多边形边数少1，故原多边形的边数可能为8－1＝7，8，8＋1＝
9.故选D.10．[答案]540°[解析]五边形的内角和是5－2·180°＝540°.11．[答案]10[解析]∵一个多边形的每个外角都等于36°，∴多边形的边数为360°÷36°＝
10.12．[答案]不稳定性13．[答案]8[解析]设这个多边形的边数是n，则n－2·180°＝3×360°，解得n＝
8.14．[答案]6[解析]由多边形内角和公式知n－2·180°＝1260°，解得n＝
9.所以从一个顶点出发引出的对角线条数是n－3＝
6.15．[答案]420°[解析]∵∠1＝60°，∴∠AED＝120°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝540°－∠AED＝420°.16．[答案]95[解析]∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°.∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°.在△BMN中，∠B＝180°－∠BMN＋∠BNM＝180°－50°＋35°＝180°－85°＝95°.故答案为
95.17．解设∠A＝x，则∠B＝x＋20°，∠C＝2x.由四边形的内角和为360°，得x＋x＋20°＋2x＋60°＝360°，解得x＝70°.∴∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.18．解设这个正多边形每个外角的度数为x°，根据题意，得x°＋4x°＋30°＝180°，解得x＝
30.360°÷30°＝12，∴这个正多边形的边数为
12.则这个正多边形的内角和为12－2×180°＝1800°，对角线的总条数为＝
54.答这个正多边形的内角和为1800°，对角线的总条数为
54.19．解∵任何一个多边形的外角和都等于360°，这个多边形外角和与内角和的比为2∶9，∴这个多边形的内角和等于360°÷2×9＝1620°.设这个多边形的边数是n，则n－2×180°＝1620°，∴n＝
11.故这个多边形的边数为11，内角和为1620°.20．解∵五边形ABCDE的内角都相等，∴∠C＝∠B＝180°×5－2÷5＝108°.∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠CDF＝360°－90°－108°－108°＝54°.21．解1甲的说法对，乙的说法不对．∵θ＝360°，∴n－2·180°＝360°，解得n＝
4.即内角和为360°的多边形的边数为
4.∵θ＝630°，∴n－2·180°＝630°，解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°.2依题意，得n－2·180°＋360°＝n＋x－2·180°，解得x＝
2.[素养提升]证明答案不唯一．1选择图
①所示的方法一．在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点的线段把n边形分成n个三角形．因为n个三角形的内角和等于n·180°，以点O为公共顶点的n个角的和为360°，所以n边形的内角和为n·180°－360°＝n－2·180°n为不小于3的整数．2选择图
②所示的方法二．作过顶点A1的所有对角线．因为过n边形A1A2A3A4A5…An的顶点A1的所有对角线把n边形分成了n－2个三角形，且三角形的内角和为180°，所以n边形A1A2A3A4A5…An的内角和为n－2·180°n为不小于3的整数．3选择图
③所示的方法三．在A1A2上任取一点P点P与点A1，A2不重合，连接P与各顶点的所有线段把n边形分成n－1个三角形，所以这n－1个三角形的内角和为n－1·180°.又因为点P在A1A2上，以点P为顶点的所有角的和为180°，所以n边形的内角和为n－1·180°－180°＝n－2·180°n为不小于3的整数．。
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