2019年高三数学一轮复习7.3空间点、直线、平面之间的位置关系精品试题

2019年高三数学一轮复习

7.3空间点、直线、平面之间的位置关系精品试题

一、选择题每小题5分共40分

1.若两条直线和一个平面相交成等角则这两条直线的位置关系是　　A.平行　　　　　B.异面C.相交D.平行、异面或相交【解析】选D.当平行、异面或相交时均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.

2.已知EFGH是空间内四个点条件甲:EFGH四点不共面条件乙:直线EF和GH不相交则甲是乙成立的　　A.充分不必要条件B.必要不充分条件　C.充要条件D.既不充分也不必要条件　【解析】选A.点EFGH四点不共面可以推出直线EF和GH不相交;但由直线EF和GH不相交不一定能推出EFGH四点不共面.例如EF和GH平行这也是直线EF和GH不相交的一种情况但EFGH四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件.

3.若直线l不平行于平面α且l⊄α则　　A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知直线l与平面α相交不妨设直线l∩α=M对A在α内过M点的直线与l不异面A错误;对B假设存在与l平行的直线m则由m∥l且l⊄α得l∥α这与l∩α=M矛盾故B正确C错误;对Dα内存在与l异面的直线故D错误.

4.xx·湖州模拟下列四个命题中真命题是　　A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条C.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【解析】选B.垂直于同一条直线的两条直线之间的关系可以平行、相交和异面;过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线只有一条;正四棱柱的概念是底面是正四边形侧棱都与底面垂直;过球面上任意两点的大圆不一定是唯一的若所取的任意两点与球心在同一直线的话就可以得到无数个大圆了.故选B.

5.xx·台州模拟下列四个命题中真命题的个数为　　

①如果两个平面有三个公共点那么这两个平面重合;

②两条直线可以确定一个平面;

③若M∈αM∈βα∩β=l则M∈l;

④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内.A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4【解析】选A.

①两个平面有三个公共点若这三个公共点共线则这两个平面相交故

①不正确;两异面直线不能确定一个平面故

②不正确;在空间交于一点的三条直线不一定共面如墙角故

④不正确;据平面的性质可知

③正确.

6.xx·东城模拟设ABCD是空间四个不同的点在下列命题中不正确的是　　A.若AC与BD共面则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线则AD与BC是异面直线C.若AB=ACDB=DC则AD=BCD.若AB=ACDB=DC则AD⊥BC【解析】选C.A中若AC与BD共面则ABCD四点共面则AD与BC共面;B中若AC与BD是异面直线则ABCD四点不共面则AD与BC是异面直线;C中若AB=ACDB=DCAD不一定等于BC;D中若AB=ACDB=DC可以证明AD⊥BC.

7.xx·沈阳模拟正方体AC1中EF分别是线段BCC1D的中点则直线A1B与直线EF的位置关系是　　A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能【解析】选A.如图所示连接CD1则CD1∩C1D=F因为A1B∥CD1所以直线A1B与CD1确定的平面为A1BCD1E∈BC所以EF⊂平面A1BCD1且两直线不平行故两直线相交.【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示直线ABCD在原正方体中的位置关系是　　A.平行B.垂直C.相交成60°角D.异面且成60°角【解析】选D.折起后如图显然AB与CD异面因为AM∥CD△AMB为正三角形所以∠MAB=60°.

8.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为底面边长为E为SA的中点则异面直线BE和SC所成的角为　　A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°【解析】选C.如图设AC中点为O则OE∥SC则∠BEO或其补角即为异面直线BE和SC所成的角由EO=SC=BO=BD=在△SAB中cos∠SAB====所以BE=.在△BEO中cos∠BEO=所以∠BEO=60°.【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤1作:通过作平行线得到相交直线.2证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.3算:通过解三角形求出角.

二、填空题每小题5分共20分

9.xx·嘉兴模拟abc是空间中的三条直线下面给出三个命题:

①若a∥bb∥c则a∥c;

②若a∥bb与c异面则a与c异面;

③若ab与c成等角则a∥b.上述命题中正确的命题是　　　　只填序号.【解析】由基本性质知

①正确;当a∥bb与c异面时a与c可能相交也可能异面故

②不正确;当ab与c成等角时a与b可以相交、平行也可以异面故

③不正确.答案:

①

10.如图GHMN分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线GH与MN是异面直线的图形有　　　　.【解析】

①③中GM∥HN所以GMNH四点共面从而GH与MN共面;

②④中根据异面直线的判定定理易知GH与MN异面.答案:

②④【加固训练】如图EF是AD上互异的两点GH是BC上互异的两点由图可知

①AB与CD互为异面直线;

②FH分别与DCDB互为异面直线;

③EG与FH互为异面直线;

④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是　　A.

①③B.

②④C.

①④D.

①②【解析】选A.根据图形AB与CD互为异面直线故

①正确;当F点与D重合时BFCH四点共面FH与DCDB不为异面直线故

②错误;由于EG与FH不可能共面否则ABCD四点共面所以EG与FH互为异面直线故

③正确;当G与B重合时AB与EG为共面直线故

④错误.所以应选A.

11.如图已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形C是圆柱下底面弧AB的中点C1是圆柱上底面弧A1B1的中点那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　.【思路点拨】取圆柱下底面弧AB的另一中点D连接C1DAD则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形可得C1D=AD从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D连接C1DAD则因为C是圆柱下底面弧AB的中点所以AD∥BC所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点所以C1D⊥圆柱下底面所以C1D⊥AD因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形所以C1D=AD所以直线AC1与AD所成角的正切值为所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:

12.已知线段ABCD分别在两条异面直线上MN分别是线段ABCD的中点则MN　　　 AC+BD填“”“”或“=”.【解析】如图所示四边形ABCD是空间四边形而不是平面四边形要想求MN与ACBD的关系必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G再连接MGNG在△ABD中MG分别是线段ABAD的中点则MG∥BD且MG=BD同理在△ADC中NG∥AC且NG=AC又根据三角形的三边关系知MNMG+NG即MNBD+AC=AC+BD.答案:

三、解答题13题12分14～15题各14分

13.已知在空间四边形ABCD中AB=CD=3EF分别为BCAD上的点并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2EF=求AB与CD所成的角的大小.【解析】取BD上一点H使得BH∶HD=1∶

2.连接FHEH由题意知FH∥ABEH∥CD则∠EHF为异面直线AB与CD所成的角或其补角.又AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2所以FH=AB=2HE=CD=

1.在△EFH中由余弦定理知:cos∠EHF===-即异面直线AB与CD所成的角为60°.【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围.在解答过程中易误认为∠EHF即为异面直线AB与CD所成的角.实际上当∠EHF为锐角或直角时为两条异面直线AB与CD所成的角;而当∠EHF为钝角时它为异面直线AB与CD所成角的补角.

14.如图已知:EFGH分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱ABBCCC1C1D1的中点证明:FEHGDC三线共点.【证明】连接C1BHEFG由题意知HC1∥EB且HC1=EB.所以四边形HC1BE是平行四边形.所以HE∥C1B.又C1G=GC=CF=BF故GF∥C1B且GF=C1B所以GF∥HE且GF≠HE所以HG与EF相交.设交点为K则K∈HGHG⊂平面D1C1CD所以K∈平面D1C1CD.因为K∈EFEF⊂平面ABCD所以K∈平面ABCD.因为平面D1C1CD∩平面ABCD=DC所以K∈DCFEHGDC三线共点.

15.能力挑战题xx·杭州模拟如图在三棱锥A-BCD中EFGH分别是边ABBCCDDA的中点.1若AC=BD求证:四边形EFGH是菱形.2当AC与BD满足什么条件时四边形EFGH是正方形【解析】1在△ABC中EF分别是边ABBC中点所以EF∥AC且EF=AC同理有GH∥AC且GH=AC所以EF∥GH且EF=GH故四边形EFGH是平行四边形.又EH∥BD且EH=BD故若AC=BD则有EH=EF又因为四边形EFGH是平行四边形所以四边形EFGH是菱形.2当AC=BD且AC⊥BD时四边形EFGH是正方形.由1知AC=BD时四边形EFGH是菱形当AC⊥BD时因为EF∥ACFG∥BD所以EF⊥FG故四边形EFGH是正方形.板块。