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2019年高三数学一轮复习
8.3圆的方程精品试题
一、选择题每小题5分共40分
1.xx·湖州模拟若过点Aaa可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线则实数a的取值范围是 A.-∞-3B.C.-∞-3∪D.-3+∞【解析】选C.圆的方程可化为x-a2+y2=3-2a.过点Aaa可作圆的两条切线所以解之得a-3和1a故a的取值范围为-∞-3∪.
2.xx·天津模拟已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积则取最大面积时该圆的圆心的坐标为 A.-11B.-10C.1-1D.0-1【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==当k=0时rmax==1此时圆的方程为x2+y2+2y=0即x2+y+12=1所以圆心为0-
1.
3.已知点P22点M是圆O1:x2+y-12=上的动点点N是圆O2:x-22+y2=上的动点则|PN|-|PM|的最大值是 A.-1B.-2C.2-D.3-【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+-=|PO2|-|PO1|+1=2-+1=3-.【方法技巧】解决与圆有关的距离最值问题的策略 与圆有关的最值问题往往可以转化为圆心到某点或某直线或另一个圆心的距离问题然后再加或减半径求解.
4.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形则a-b的取值范围是 A.-∞4B.-∞0C.-4+∞D.4+∞【解析】选A.将圆的方程变形为x-12+y+32=10-5a可知圆心为1-3且10-5a0即a
2.因为圆关于直线y=x+2b对称所以圆心在直线y=x+2b上即-3=1+2b解得b=-2所以a-b
4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法1点ab关于直线y=x+m的对称点坐标为b-ma+m.2点ab关于直线y=-x+m的对称点坐标为-b+m-a+m.
5.已知两点A-20B02点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点则△ABC面积的最小值是 A.3-B.3+C.3-D.【解析】选A.lAB:x-y+2=0圆心10到lAB的距离d==所以AB边上的高的最小值为-
1.所以Smin=×2×=3-.【加固训练】在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E01的最长弦和最短弦分别为AC和BD则四边形ABCD的面积为 A.5 B.10 C.15 D.20【解析】选B.由题意可知圆的圆心坐标是
13、半径是且点E01位于该圆内故过点E01的最短弦长|BD|=2=2过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦过点E01的最长弦长等于该圆的直径即|AC|=2且AC⊥BD因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|=×2×2=
10.
6.xx·淮北模拟若圆C的半径为1圆心在第一象限且与直线4x-3y=0和x轴都相切则该圆的标准方程是 A.x-22+y-12=1B.x-22+y-32=1C.x-32+y-22=1D.x-32+y-12=1【解析】选A.设圆心坐标为ab由题意知a0且b=
1.又因为圆和直线4x-3y=0相切所以=1即|4a-3|=5因为a0所以a=
2.所以圆的方程为x-22+y-12=
1.
7.xx·温州模拟已知点Pxy在直线x-y-1=0上运动则x-22+y-22的最小值为 A.B.C.D.【解析】选A.因为点22到直线x-y-1=0的距离为=所以x-22+y-22的最小值为=.
8.xx·衢州模拟圆心在曲线y=x0上且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为 A.x-22+=9B.x-32+y-12=C.x-12+y-32=D.x-2+y-2=9【解析】选A.由题意设圆心为则半径R=≥3当且仅当x=2时取等号所以半径最小时圆心为圆的方程为x-22+=
9.
二、填空题每小题5分共20分
9.xx·宝鸡模拟已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0a1a2…a11是该圆过点35的11条弦的长若数列a1a2…a11成等差数列则该等差数列公差的最大值是 .【解析】容易判断点35在圆内部过圆内一点最长的弦是直径过该点与直径垂直的弦最短因此过35的弦中最长为10最短为4故公差最大为=.答案:
10.已知xy满足x2+y2=1则的最小值为 .【思路点拨】可将看成圆x2+y2=1上的点xy与点12连线的斜率进而转化为直线与圆相交或相切.【解析】表示圆上的点Pxy与点Q12连线的斜率所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=kx-1即kx-y+2-k=
0.由=1得k=结合图形可知≥故最小值为.答案:
11.设二次函数y=x2-x+1与x轴正半轴的交点分别为AB与y轴正半轴的交点是C则过ABC三点的圆的标准方程是 .【思路点拨】先由已知求出ABC三点坐标再根据坐标特点选出方程求方程.【解析】由已知三个交点分别为A10B30C01易知圆心横坐标为2则令圆心为E2b由|EA|=|EC|得b=2半径为故圆的方程为x-22+y-22=
5.答案:x-22+y-22=5【加固训练】设圆C同时满足三个条件:
①过原点;
②圆心在直线y=x上;
③截y轴所得的弦长为4则圆C的方程是 .【解析】由题意可设圆心Aaa则22+22=2a2解得a=±2r2=2a2=
8.所以圆C的方程是x+22+y+22=8或x-22+y-22=
8.答案:x+22+y+22=8或x-22+y-22=
812.能力挑战题已知动圆的圆心C在抛物线x2=2pyp0上该圆经过点A0p且与x轴交于两点MN则sin∠MCN的最大值为 .【解析】由题意设Cx0y0则☉C的方程x-x02+y-y02=+y0-p
2.把y=0和=2py0代入整理得x2-2x0x+-p2=
0.设MN的横坐标分别为x1x2则x1=x0-px2=x0+p.所以|MN|=|x1-x2|=2p.因为|CM|=|CN|==所以cos∠MCN==1-所以-1≤cos∠MCN
1.所以0∠MCN≤π所以0≤sin∠MCN≤1所以sin∠MCN的最大值为
1.答案:1
三、解答题13题12分14~15题各14分
13.xx·湛江模拟已知△ABC的顶点坐标分别为A-15B-2-1C43M是BC的中点.1求AB边所在直线的方程.2求以线段AM为直径的圆的方程.【思路点拨】1利用两点式或点斜式求直线AB的方程.2求出圆心和半径可求圆的方程.【解析】1因为A-15B-2-1所以由两点式得AB的方程为=整理得y=6x+
11.2因为M是BC的中点所以M即M11所以|AM|==2所以圆的半径为.所以AM的中点为即中点为03所以以线段AM为直径的圆的方程为x2+y-32=
5.
14.已知数列{an}圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0若圆C1与圆C2交于AB两点且这两点平分圆C2的周长.1求证:数列{an}是等差数列.2若a1=-3则当圆C1的半径最小时求出圆C1的方程.【解析】1由已知圆C1的圆心坐标为an-an+1半径为r1=圆C2的圆心坐标为-1-1半径为r2=
2.又圆C1与圆C2交于AB两点且这两点平分圆C2的周长所以|C1C2|2+=.所以an+12+-an+1+12+4=++1所以an+1-an=.所以数列{an}是等差数列.2因为a1=-3所以an=n-.则r1===.因为n∈N*所以当n=2时r1可取得最小值此时圆C1的方程是:x2+y2+x+4y-1=
0.【加固训练】已知圆C的方程为x2+y2+m-2x+m+1y+m-2=0根据下列条件确定实数m的取值并写出相应的圆心坐标和半径.1圆的面积最小.2圆心距离坐标原点最近.【解析】1因为m-22+m+12-4m-2=2m2-6m+13=2+0恒成立无论m为何值方程总表示圆.圆心坐标圆的半径为r=.圆的半径最小时面积最小r==≥当且仅当m=时等号成立此时面积最小.所以当圆的面积最小时圆心坐标为半径r=.2圆心到坐标原点的距离d=≥.当且仅当m=时距离最近.此时圆心坐标为半径r=.
15.能力挑战题xx·台州模拟已知以点Ct∈Rt≠0为圆心的圆与x轴交于点OA与y轴交于点OB其中O为原点.1求证:△AOB的面积为定值.2设直线2x+y-4=0与圆C交于点MN若|OM|=|ON|求圆C的方程.3在第2题的条件下设PQ分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.【解析】1由题设知圆C的方程为x-t2+=t2+化简得x2-2tx+y2-y=0当y=0时x=0或2t则A2t0;当x=0时y=0或则B所以S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·||=4为定值.2因为|OM|=|ON|则原点O在MN的中垂线上设MN的中点为H则CH⊥MN所以CHO三点共线则直线OC的斜率k===所以t=2或t=-
2.所以圆心C21或C-2-1所以圆C的方程为x-22+y-12=5或x+22+y+12=5由于当圆的方程为x+22+y+12=5时直线2x+y-4=0到圆心的距离dr此时不满足直线与圆相交故舍去.所以圆C的方程为x-22+y-12=
5.3点B02关于直线x+y+2=0的对称点为B′-4-2则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=-=3-=
2.所以|PB|+|PQ|的最小值为2直线B′C的方程为y=x则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.。