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2019年高三数学一轮复习
8.6椭圆精品试题
一、选择题每小题5分共40分
1.xx·台州模拟已知椭圆C的短轴长为6离心率为则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 A.9B.1C.1或9D.以上都不对【解析】选C.依题设知:解得a=5b=3c=
4.所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=
1.
2.椭圆+=1ab0的左、右顶点分别是AB左、右焦点分别是F1F
2.若|AF1||F1F2||F1B|成等比数列则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.-2【解析】选B.因为AB为左、右顶点F1F2为左、右焦点所以|AF1|=a-c|F1F2|=2c|F1B|=a+c又因为|AF1||F1F2||F1B|成等比数列所以a+ca-c=4c2即a2=5c2所以离心率e=.
3.设椭圆+=1ab0的离心率为e=右焦点为Fc0方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2则点Px1x2 A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能【解析】选A.因为e=所以=.因为a2=b2+c2所以b2=a
2.因为x1+x2=-x1·x2=-所以+=x1+x22-2x1x2=+1==
2.所以P点在圆x2+y2=2内.
4.xx·新课标全国卷Ⅰ已知椭圆E:+=1ab0的右焦点F30过点F的直线交E于AB两点若AB的中点坐标为1-1则E的方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.由椭圆+=1得b2x2+a2y2=a2b2因为过点F的直线与椭圆+=1ab0交于AB两点设Ax1y1Bx2y2则=1=-1则b2+a2=a2b2
①b2+a2=a2b2
②由
①-
②得b2-+a2-=0化简得b2x1-x2x1+x2+a2y1-y2y1+y2=
0.2b2x1-x2-2a2y1-y2=0=又直线的斜率为k==即=.因为b2=a2-c2=a2-9所以=解得a2=18b2=
9.故椭圆方程为+=
1.
5.设P是椭圆+=1上一点MN分别是两圆:x+42+y2=1和x-42+y2=1上的点则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 A.912B.811C.812D.1012【思路点拨】可先求点P到两圆圆心的距离之和注意两圆圆心与椭圆焦点的关系.【解析】选C.可先求点P到两圆圆心的距离然后再加两圆半径和或再减两圆半径和因为两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点所以点P到两圆圆心的距离的和为2a=10因此所求最大值为2a+2最小值为2a-2故最大值是
12、最小值是
8.
6.xx·新课标全国卷Ⅱ设椭圆C:+=1ab0的左、右焦点分别为F1F2P是C上的点PF2⊥F1F2∠PF1F2=30°则C的离心率为 A.B.C.D.【解析】选D.因为PF2⊥F1F2∠PF1F2=30°所以|PF2|=2ctan30°=c|PF1|=c.又|PF1|+|PF2|=c=2a所以=即椭圆的离心率为选D.
7.已知椭圆+=1若此椭圆上存在不同的两点AB关于直线y=4x+m对称则实数m的取值范围是 A.B.C.D.【解析】选B.设Ax1y1Bx2y2AB的中点MxykAB==-x1+x2=2xy1+y2=2y3+4=12
①3+4=12
②①②两式相减得3-+4-=0即y1+y2=3x1+x2即y=3x与y=4x+m联立得x=-my=-3m而Mxy在椭圆的内部则+1即-m.【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率求解时一般先设交点坐标代入曲线方程再用平方差公式求解这种解法大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
8.能力挑战题已知F1F2分别是椭圆+=1的左、右焦点A是椭圆上一动点圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切若Mt0为一个切点则 A.t=2 B.t2C.t2 D.t与2的大小关系不确定【思路点拨】先画出图形注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.【解析】选A.如图PQ分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点则|MF2|=|F2Q|=2a-|F1A|+|AQ|=2a-|F1P|=2a-|F1M|即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=
2.
二、填空题每小题5分共20分
9.xx·嘉兴模拟已知椭圆+=1的焦点分别是F1F2P是椭圆上一点若连接F1F2P三点恰好能构成直角三角形则点P到y轴的距离是 .【解析】依题意:F10-3F
203.又因为34所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°设Px3代入椭圆方程得:x=±即点P到y轴的距离为.答案:
10.分别过椭圆+=1ab0的左、右焦点F1F2所作的两条互相垂直的直线l1l2的交点在此椭圆的内部则此椭圆的离心率的取值范围是 .【思路点拨】关键是由l1l2的交点在此椭圆的内部得到abc间的关系进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部所以有c2b2又b2=a2-c2所以有c2a2-c2即2c2a2亦即:所以
0.答案:【加固训练】已知F1F2是椭圆+=1ab0的两个焦点若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=则椭圆的离心率e的取值范围为 .【解析】设椭圆的短轴的一个端点为B则∠F1BF2≥在△BF1F2中sin∠OBF2==e≥sin=故≤e
1.答案:
11.xx·镇江模拟已知点A02及椭圆+y2=1上任意一点P则|PA|的最大值为 .【解析】设Px0y0则-2≤x0≤2-1≤y0≤1所以|PA|2=+y0-
22.因为+=1所以|PA|2=41-+y0-22=-3-4y0+8=-3+.因为-1≤y0≤1而-1-1所以当y0=-时|PA=即|PA|max=.答案:
12.能力挑战题xx·杭州模拟直线l过椭圆+y2=1的左焦点F且与椭圆相交于PQ两点M为PQ的中点O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形则直线l的方程为 .【解析】由+y2=1得a2=2b2=1所以c2=a2-b2=2-1=1则c=1则左焦点F-
10.由题意可知直线l的斜率存在且不等于0则直线l的方程为y=kx+k.设l与椭圆相交于Px1y1Qx2y2联立得:2k2+1x2+4k2x+2k2-2=
0.所以x1+x2=-.则PQ的中点M的横坐标为=-.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形所以-=-.解得:k=±.所以直线l的方程为y=±x+
1.答案:y=±x+1
三、解答题13题12分14~15题各14分
13.如图F1F2分别是椭圆C:+=1ab0的左、右焦点A是椭圆C的顶点B是直线AF2与椭圆C的另一个交点∠F1AF2=60°.1求椭圆C的离心率.2已知△AF1B的面积为40求ab的值.【解析】1∠F1AF2=60°⇒a=2c⇒e==.2设|BF2|=mm0则|BF1|=2a-m在△BF1F2中|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°即2a-m2=m2+a2+am所以m=a.△AF1B的面积S=×|AF1|×|AB|×sin60°=×a××=40所以a=10c=5b=
5.【一题多解】本题第2问还可以用如下的方法解决:设|AB|=t.因为|AF2|=a所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知|BF1|=3a-t再由余弦定理3a-t2=a2+t2-2atcos60°可得t=a.由=a·a·=a2=40知a=10b=
5.
14.xx·南宁模拟设椭圆C:+=1ab0的离心率e=点A是椭圆上的一点且点A到椭圆C两焦点的距离之和为
4.1求椭圆C的方程.2椭圆C上一动点Px0y0关于直线y=2x的对称点为P1x1y1求3x1-4y1的取值范围.【解析】1依题意知2a=4所以a=
2.因为e==所以c=b==.所以所求椭圆C的方程为+=
1.2因为点Px0y0关于直线y=2x的对称点为P1x1y1所以解得x1=y1=.所以3x1-4y1=-5x
0.因为点Px0y0在椭圆C:+=1上所以-2≤x0≤2则-10≤-5x0≤
10.所以3x1-4y1的取值范围为[-1010].【加固训练】设AB分别为椭圆+=1ab0的左、右顶点为椭圆上一点椭圆长半轴的长等于焦距.1求椭圆的方程.2设P4xx≠0若直线APBP分别与椭圆相交异于AB的点MN求证:∠MBN为钝角.【解析】1依题意得a=2cb2=a2-c2=3c
2.则椭圆方程为+=1将代入得c2=
1.故椭圆方程为+=
1.2由1知A-20B20设Mx0y0则-2x02=4-.由PAM三点共线得x==x0-2y0=·=2x0-4+=2-x00即∠MBP为锐角则∠MBN为钝角.
15.xx·重庆高考如图椭圆的中心为原点O长轴在x轴上离心率e=过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于AA′两点|AA′|=
4.1求该椭圆的标准方程.2取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点PP′过PP′作圆心为Q的圆使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值并写出对应的圆Q的标准方程.【解析】1设椭圆的标准方程为+=1ab0由题意知点A-c2在椭圆上则+=1从而e2+=
1.由e=得b2==8从而a2==16故该椭圆的标准方程为+=
1.2由椭圆的对称性可设Qx00又设Mxy是椭圆上任意一点则|QM|2=x-x02+y2=x2-2x0x++81-=x-2x02-+8x∈.设Px1y1由题意P是椭圆上到Q的距离最小的点因此上式当x=x1时取最小值又因为x1∈所以上式当x=2x0时取最小值从而x1=2x0且|QP|2=8-.由对称性知P′x1-y1故|PP′|=|2y1|所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|==.当x0=±时△PP′Q的面积S取到最大值
2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q±0半径|QP|==因此这样的圆有两个其标准方程分别为x+2+y2=6x-2+y2=
6.。