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2019年高三数学一轮复习
8.8抛物线精品试题
一、选择题每小题5分共40分
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点则a= A.1B.4C.8D.16【解析】选C.根据抛物线方程可得其焦点坐标为双曲线的上焦点为02依题意则有=2解得a=
8.
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4B.6C.8D.12【解析】选B.因为点P到y轴的距离是4延长使得和准线相交于点Q则|PQ|等于点P到焦点的距离而|PQ|=6所以点P到该抛物线焦点的距离为
6.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:1若求点到焦点的距离则可联想点到准线的距离.2若求点到准线的距离则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.
3.xx·台州模拟抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 A.B.11C.D.24【解析】选B.设抛物线上任一点为xy则由点到直线的距离得d====≥.当x=1时取得最小值此时点的坐标为
11.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设2x-y+m=0与y=x2相切则x2-2x-m=
0.Δ=4+4m=0所以m=-1此时x=1所以点的坐标为
11.
4.xx·成都模拟已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1a0相交于AB两点且F是抛物线的焦点若△FAB是直角三角形则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.3【解析】选B.如图所示F
10.因为△FAB为直角三角形所以|AM|=|FM|=2所以A-12代入-y2=1得a2=所以c2=a2+1=+1=所以e2==6所以e=.
5.已知抛物线y2=2pxp0过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于AB两点若线段AB的中点的纵坐标为2则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设Ax1y1Bx2y2由题意知直线AB的方程为:y=x-与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0所以y1+y2=2p由题意知:y1+y2=4所以p=2所以抛物线的方程为y2=4x其准线方程为x=-1故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设Ax1y1Bx2y2由题意得y1+y2=4=2px1=2px2两式相减得:kAB====1所以p=2所以抛物线的方程为y2=4x其准线方程为x=-
1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧1对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解同时要注意使用条件是Δ≥
0.2在椭圆+=1ab0中以Px0y0y0≠0为中点的弦所在直线的斜率k=-.3在双曲线-=1a0b0中以Px0y0y0≠0为中点的弦所在直线的斜率k=.4在抛物线y2=2pxp0中以Px0y0y0≠0为中点的弦所在直线的斜率k=.
6.xx·天津高考已知双曲线-=1a0b0的两条渐近线与抛物线y2=2pxp0的准线分别交于AB两点O为坐标原点.若双曲线的离心率为2△AOB的面积为则p= A.1B.C.2D.3【解析】选C.双曲线的离心率e===2解得=联立得y=.又因为S△OAB=×=将=代入解得p=
2.
7.xx·金华模拟已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A.B.2C.D.3【解析】选B.因为抛物线的方程为y2=4x所以焦点坐标F10准线方程为x=-
1.所以设P到准线的距离为|PB|则|PB|=|PF|.P到直线l1:4x-3y+6=0的距离为|PA|所以|PA|+|PB|=|PA|+|PF|≥|FD|其中|FD|为焦点到直线4x-3y+6=0的距离所以|FD|===2所以距离之和最小值是
2.【加固训练】已知点P是抛物线y2=4x上一点设点P到此抛物线准线的距离为d1到直线x+2y+10=0的距离为d2则d1+d2的最小值是 .【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离如图过焦点F作直线x+2y+10=0的垂线此时d1+d2最小因为F10所以d1+d2==.答案:
8.能力挑战题xx·绍兴模拟已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l过抛物线C上一点A作准线l的垂线垂足为M若△AMF与△AOF其中O为坐标原点的面积之比为3∶1则点A的坐标为 A.1±2B.C.4±1D.2±2【解析】选D.设Axy如图依题意知:S△AMF=|AM|·|y|S△AOF=|OF|·|y|又S△AMF∶S△AOF=3∶1且|OF|=1所以|AM|=3故A的横坐标为2代入抛物线y2=4x得y2=8所以y=±2故A的坐标为2±
2.
二、填空题每小题5分共20分
9.xx·北京高考若抛物线y2=2px的焦点坐标为10则p= ;准线方程为 .【解析】因为抛物线y2=2px的焦点坐标为10所以=1解得p=2所以准线方程为x=-
1.答案:2 x=-
110.抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合则m= .【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y焦点坐标为04又因为双曲线-=1的上焦点坐标为0依题意有4=解得m=
13.答案:13【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为的错误原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
11.xx·杭州模拟已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F准线与x轴交于M点过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于AB两点若|AM|=|AF|则k的值为 .【解析】设Ax0y0则M由抛物线定义得|AF|=x0+因为|AM|=|AF|所以=两边平方并化简得=即=所以k==±.答案:±
12.xx·南京模拟已知抛物线y2=8x的焦点为F抛物线的准线与x轴的交点为K点A在抛物线上且AK=AF则△AFK的面积为 .【解析】如图过点A作AB⊥l于点Bl为准线则由抛物线的定义得AB=AF.因为AK=AF所以AK=AB所以∠AKF=∠AKB=45°设A2t24t由K-20得=1得t=1所以S△AKF=×4×4=
8.答案:8
三、解答题13题12分14~15题各14分
13.如图已知抛物线C:y2=4x的焦点为F过F的直线l与抛物线C交于Ax1y1y10Bx2y2两点T为抛物线的准线与x轴的交点.1若·=1求直线l的斜率.2求∠ATF的最大值.【解析】1因为抛物线y2=4x焦点为F10T-
10.当l⊥x轴时A12B1-2此时·=0与·=1矛盾所以设直线l的方程为y=kx-1代入y2=4x得k2x2-2k2+4x+k2=0则x1+x2=x1x2=1
①所以=16x1x2=16所以y1y2=-4
②因为·=1所以x1+1x2+1+y1y2=1将
①②代入并整理得k2=4所以k=±
2.2因为y10所以tan∠ATF===≤1当且仅当=即y1=2时取等号所以∠ATF≤所以∠ATF的最大值为.
14.xx·福建高考如图抛物线E:y2=4x的焦点为F准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上以C为圆心为半径作圆设圆C与准线l交于不同的两点MN.1若点C的纵坐标为2求.2若=·求圆C的半径.【解析】1抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1由点C的纵坐标为2得点C的坐标为12所以点C到准线l的距离d=2又|CO|=.所以|MN|=2=2=
2.2设C则圆C的方程为+y-y02=+即x2-x+y2-2y0y=
0.由x=-1得y2-2y0y+1+=0设M-1y1N-1y2则:由|AF|2=|AM|·|AN|得|y1y2|=4所以+1=4解得y0=±此时Δ0所以圆心C的坐标为或从而|CO|2=|CO|=即圆C的半径为.
15.能力挑战题已知抛物线C:y2=2pxp0过点A1-
2.1求抛物线C的方程并求其准线方程.2是否存在平行于OAO为坐标原点的直线l使得直线l与抛物线C有公共点且直线OA与l的距离等于若存在求出直线l的方程;若不存在说明理由.【解析】1将1-2代入y2=2px得-22=2p×1所以p=
2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x其准线方程为x=-
1.2假设存在符合题意的直线l其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=
0.因为直线l与抛物线C有公共点所以Δ=4+8t≥0解得t≥-.由直线OA与l的距离d=可得=解得t=±
1.因为-1∉1∈所以符合题意的直线l存在其方程为2x+y-1=
0.。