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课时作业十九[
2.
6.1 菱形的性质]
一、选择题1.xx·益阳下列性质中菱形不一定具有的是 A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2.xx·衡阳菱形的两条对角线长分别是12和16,则此菱形的边长是 A.10B.8C.6D.53.xx·宿迁如图K-19-1,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为CD的中点.若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是 图K-19-1A.B.2C.2D.44.如图K-19-2,在菱形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上的点,且AM=AN=MN=AB,则∠C的度数为 图K-19-2A.120°B.100°C.80°D.60°5.xx·南充已知菱形的周长为4,两条对角线的和为6,则菱形的面积为 A.2B.C.3D.4
二、填空题6.在菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别是6和8,则菱形的周长是________.7.已知菱形ABCD的面积为24cm2,若对角线AC=6cm,则这个菱形的边长为________cm.8.如图K-19-3,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为24,则OH的长等于________.图K-19-39.xx·菏泽在菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24cm,则菱形的面积为________cm
2.10.如图K-19-4,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心点O处,折痕为EF.若菱形ABCD的边长为4cm,∠A=120°,则EF=________cm.图K-19-4
三、解答题11.如图K-19-5,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,BE=CE,求∠BAD的度数.图K-19-512.xx·柳州如图K-19-6,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=
2.1求菱形ABCD的周长;2若AC=2,求BD的长.图K-19-
613.xx·巴中如图K-19-7,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,AC,BC于点E,O,F,连接CE和AF.1求证四边形AECF为菱形;2若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.图K-19-714.已知如图K-19-8,在菱形ABCD中,F是BC边上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.1求证AE=EC;2当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?请说明理由.图K-19-815.如图K-19-9,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E,F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=
2.1求证△BDE≌△BCF;2判断△BEF的形状,并说明理由.图K-19-9动态探究如图K-19-10,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交直线AB于点F,连接BE.1如图
①,当点F在AB的延长线上时,求证∠AFD=∠EBC;2如图
②,当点F在AB的延长线上时,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数;3若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数只写出条件与对应的结果.图K-19-10详解详析课堂达标1.C2.[解析]A 菱形的对角线互相垂直平分,所以两条对角线的一半与边构成直角三角形,斜边长为菱形的边长,所以菱形的边长为=
10.故选A.3.[解析]A 根据菱形ABCD的周长为16可知AB=BC=CD=DA=4,再根据∠BAD=60°,得△ABD是等边三角形,所以BD=4,即BO=DO=2,在Rt△OBC中根据勾股定理,得CO=2,从而求得S△COD=2,根据OE是△COD的中线,得S△OCE=S△COD=.故选A.4.[解析]B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.∵AM=AN=MN=AB,∴AB=AM,AN=AD,△AMN是等边三角形,∴∠B=∠AMB,∠D=∠AND,∠MAN=60°.设∠B=∠D=x,则∠BAM=∠DAN=180°-2x,∠BAD=2×180°-2x+60°=420°-4x.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,420°-4x+x=180°,∴420°-3x=180°,解得x=80°,∴∠C=180°-80°=100°.5.[解析]D ∵菱形的四条边相等,周长为4,∴菱形的边长为.设菱形的两条对角线的长分别为x,y,则x+y=6
①,=,即x2+y2=20
②.
①2-
②,得2xy=
16.∴xy=
8.∴S菱形=xy=
4.6.20
7.58.[答案]3[解析]∵菱形ABCD的周长等于24,∴AD==
6.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°.在Rt△AOD中,OH为斜边AD上的中线,∴OH=AD=
3.9.[答案]18[解析]如图.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD.∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形.又∵菱形ABCD的周长为24cm,∴BD=AD=6cm.在Rt△AOD中,OD=3cm,∴AO===3cm,∴AC=2AO=6cm,菱形的面积=AC·BD=×6×6=18cm
2.10.[答案]2[解析]连接BD,AC,则BD,AC交于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC平分∠BAD.∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°,∴∠ABO=90°-60°=30°.∵∠AOB=90°,∴AO=AB=×4=
2.由勾股定理,得BO=DO=
2.∵点A沿EF折叠与点O重合,∴EF⊥AC,EF平分AO.∵AC⊥BD,∴EF∥BD,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=BD=×2+2=
2.11.解∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AD∥BC.∵AE⊥BC,BE=CE,∴AB=AC,∴AB=AC=BC,即△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.又∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠B=120°.12.解1∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=2,∴菱形ABCD的周长为
8.2∵四边形ABCD是菱形,AC=2,∴OA=OC=AC=1,OB=OD,且∠AOB=90°.在Rt△AOB中,∴OB===.∴BD=2OB=
2.13.解1证明∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EAC=∠ACF.又∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.在四边形AECF中,OE=OF,OA=OC,AC⊥EF.∴四边形AECF为菱形.2设菱形AECF的边长为x.由题意,得AF=x,CF=x.∵BF=BC-CF,BC=8,∴BF=8-x.∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=90°.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+BF2=AF
2.又∵AB=4,BF=8-x,AF=x,∴16+8-x2=x2,解得x=
5.∴菱形AECF的周长=5×4=
20.14.解1证明连接AC.∵BD,AC是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE=EC.2F是线段BC的中点.理由∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB.又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.∵∠CEF=60°,∴∠EAC=30°,∴AF是△ABC的角平分线,∴BF=CF,∴F是线段BC的中点.15.解1证明∵菱形ABCD的边长为2,BD=2,∴△ABD和△BCD都为等边三角形,∴∠BDE=∠BCF=60°,BD=BC.∵AE+DE=AD=2,而AE+CF=2,∴DE=CF,∴△BDE≌△BCF.2△BEF为等边三角形.理由∵△BDE≌△BCF,∴∠DBE=∠CBF,BE=BF.∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°,∴∠DBF+∠DBE=60°,即∠EBF=60°,∴△BEF为等边三角形.素养提升解1证明∵四边形ABCD为菱形,∴DC∥AB,DC=BC,CA平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE.在△DCE和△BCE中,∵DC=BC,∠DCE=∠BCE,EC=EC,∴△DCE≌△BCE,∴∠EDC=∠EBC.∵DC∥AB,∴∠EDC=∠AFD,∴∠AFD=∠EBC.2∵DE=EC,∴∠EDC=∠ECD.设∠EDC=∠ECD=∠EBC=∠ECB=∠AFD=x°,则∠CBF=∠BCD=2x°.由BE⊥AF,得∠EBF=90°,∴2x+x=90,解得x=30,∴∠DAB=∠BCD=60°.3分两种情况
①如图a,当点F在AB的延长线上时.∵四边形ABCD为菱形且∠DAB=90°,∴∠CBF=90°,∴∠EBF为钝角,∴只能是BE=BF,设∠BEF=∠EFB=x°,则∠EBC=∠EFB=x°.在△BEF中,可通过三角形内角和为180°,得90+x+x+x=180,解得x=30,∴∠EFB=30°;
②如图b,当点F在线段AB上时.∵∠EFB=∠DAB+∠ADF,且∠DAB=90°,∴∠EFB为钝角,∴只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=y°,则∠AFD=2y°.∵CD∥AB,∴∠AFD=∠FDC=∠EBC.∵∠ABE+∠EBC=90°,∴y+2y=90,解得y=30,∴∠EFB=120°.综上所述,∠EFB的度数为30°或120°.。