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课时作业二十[
2.
6.2 菱形的判定]
一、选择题1.如图K-20-1,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=2,则▱ABCD的周长为 图K-20-1A.4 B.6 C.8 D.122.如图K-20-2,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC折叠,得到△DBC,其与原三角形ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 图K-20-2A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形3.xx·河南如图K-20-3,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是 图K-20-3A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠24.如图K-20-4,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为 图K-20-4A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm5.如图K-20-5,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形 图K-20-5A.4个 B.5个 C.6个 D.7个6.图K-20-6是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两名同学的作法分别如下,对于甲、乙两人的作法,可判断 甲连接AC,作AC的中垂线分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE,则四边形AFCE是菱形.乙分别作∠BAD与∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,则四边形ABEF是菱形.图K-20-6A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
二、填空题7.如图K-20-7,在▱ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点M,N分别在AD,BC上,且DM=CN=2cm,则四边形ABNM是________形,判断的依据是______________________.图K-20-78.如图K-20-8,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件
①BE⊥EC;
②BF∥EC;
③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是________只填写序号.图K-20-8
三、解答题9.xx·郴州如图K-20-9,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.求证四边形BFDE是菱形.图K-20-
910.xx·南京如图K-20-10,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,O是四边形ABCD内的一点,且OA=OB=OD.求证1∠BOD=∠C;2四边形OBCD是菱形.图K-20-1011.xx·娄底如图K-20-11,在四边形ABCD中,对角线AC,BC相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过点O作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.1求证△AOE≌△COF;2判断四边形BEDF的形状,并说明理由.图K-20-1112.如图K-20-12,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证AD⊥EF.图K-20-12操作探究小明用两条宽度均为dcm的长方形纸条交错地叠在一起,相交成∠α如图K-20-13,设重叠部分是四边形ABCD.1他发现不管∠α是锐角、直角还是钝角,四边形ABCD的形状好像总不变,请你判断它的形状,并说出理由;2分别求出当d=1,∠α=45°和d=,∠α=60°时重叠部分的面积.图K-20-13详解详析课堂达标1.C2.[解析]B ∵将△ABC沿边BC折叠得到△DBC,∴AB=BD,AC=CD.∵AB=AC,∴AB=BD=CD=AC,∴四边形ABDC是菱形.故选B.3.[解析]C A项,∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形;B项,∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴▱ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形;C项,∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,∴▱ABCD是矩形对角线相等的平行四边形是矩形;D项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠1=∠ACB.∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠2,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形.故选C.4.[解析]A 连接BD.∵四边形ABCD的四边相等,∴四边形ABCD为菱形.∵它的面积为120cm2,对角线AC=24cm,∴120=×24×BD,∴BD=10cm,∴AB==13cm,∴四边形ABCD的周长为4×13=52cm.故选A.5.[解析]B ∵四边形ABCD是菱形,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,∴四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFCG和ABCD均为菱形,共5个.6.[解析]A 甲的作法正确,如图
①.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COFASA,∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.乙的作法正确,如图
②.∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠5=∠
6.∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠4=∠5,∴∠1=∠3,∠4=∠6,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE且AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=AF,∴▱ABEF是菱形.故选A.7.菱 有一组邻边相等的平行四边形是菱形8.[答案]
③[解析]需添加条件
③.理由∵D是BC的中点,∴BD=CD.又∵DE=DF,∴四边形BECF为平行四边形.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴▱BECF为菱形,故答案为
③.9.解如图.∵EF是BD的垂直平分线,∴BE=DE,BF=DF,∴∠1=∠2,∠3=∠
4.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DE∥BF,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2=∠3=∠4,∴BE∥DF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.10.证明1∵OA=OB=OD,∴∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA,∠BOD=360°-∠AOD-∠AOB,∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OAB,∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-3∠OAD,∴∠BOD=360°-180°-2∠OAD-180°-2∠OAB=2∠OAD+2∠OAB=2∠OAD+∠OAB=2∠BAD.又∵∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C.2连接OC.∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△BOC≌△DOC,∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD.由1知∠BOD=∠C,∴∠BOC=∠BCO,∴OB=CB.又∵OB=OD,CB=CD,∴OB=BC=CD=DO,∴四边形OBCD是菱形.11.解1证明∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COFASA.2结论四边形BEDF是菱形.∵△AOE≌△COF,∴AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴DE=BF.∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.12.[解析]要证AD⊥EF,可先证明四边形AEDF为菱形.由题意可得四边形AEDF为平行四边形,再证一组邻边相等即可.证明∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF为平行四边形.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AC,∴∠FAD=∠EDA,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴四边形AEDF为菱形,∴AD⊥EF.素养提升解1四边形ABCD是菱形.理由∵两长方形纸条对边平行,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形.过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,则AE=AF=d.又∵S▱ABCD=AE·BC=AF·CD,∴BC=CD,∴▱ABCD是菱形.2当d=1,∠α=45°时,∠ADF=45°,AF=1cm,而AF⊥CD,∴△ADF是等腰直角三角形且AF=DF.又∵AD2=AF2+DF2,∴AD=cm,∴CD=AD=cm,∴重叠部分的面积=CD·AF=×1=cm2.当d=,∠α=60°时,∠ADF=60°,AF=cm,则DF=AD,利用勾股定理可得AD=2cm,∴CD=AD=2cm,∴重叠部分的面积=CD·AF=2×=2cm2.。