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专题训练二特殊平行四边形中的折叠问题► 类型之一 把一个顶点折叠到一条边上1.xx·天水如图2-ZT-1,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′=________°.图2-ZT-12.如图2-ZT-2,将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3,则矩形ABCD的周长为________.图2-ZT-23.如图2-ZT-3,在矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,求CD的长.图2-ZT-34.某校八年级3班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第
一、二个步骤是
①先裁下了一张长BC=20cm,宽AB=16cm的矩形纸片ABCD,
②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据
①②步骤计算EC的长.5.如图2-ZT-4,已知矩形纸片ABCD,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.求证A,G,E,F四点构成的四边形是菱形.图2-ZT-4► 类型之二 把一条边折叠到对角线上6.如图2-ZT-5,在矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 图2-ZT-5A.3B.4C.5D.67.准备一张矩形纸片ABCD,按如图2-ZT-6所示操作将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M处,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N处.1求证四边形BFDE是平行四边形;2若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.图2-ZT-6► 类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上8.如图2-ZT-7,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC′F的周长之和为 图2-ZT-7A.3B.4C.6D.89.把一张矩形纸片ABCD按图2-ZT-8的所示方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积为________cm
2.图2-ZT-810.如图2-ZT-9,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求折痕EF的长.图2-ZT-9► 类型之四 沿一条直线折叠11.如图2-ZT-10,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为 图2-ZT-10A.8B.4C.8D.612.如图2-ZT-11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是 图2-ZT-11A.2-2B.6C.2-2D.413.xx·宁夏如图2-ZT-12,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点A′处.若∠1=∠2=50°,则∠A′的度数为________.图2-ZT-1214.xx·西宁如图2-ZT-13,将平行四边形ABCD沿EF对折,使点A落在点C处.若∠A=60°,AD=4,AB=6,则AE的长为________.图2-ZT-1315.如图2-ZT-14,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使点B落在点P处,折痕为EC,连接AP并延长交CD于点F,连接BP.1求证四边形AECF为平行四边形;2若△AEP是等边三角形,求证△APB≌△EPC;3若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.图2-ZT-14详解详析1.[答案]402.[答案]12[解析]由折叠的性质知,AF=AB,EF=BE.所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和.故矩形ABCD的周长为
12.3.解根据折叠的性质,得EF=AE=
5.根据矩形的性质,得∠B=90°.在Rt△BEF中,∠B=90°,EF=5,BF=3,根据勾股定理,得BE===4,∴CD=AB=AE+BE=5+4=
9.4.解设EC=xcm,则EF=DE=16-xcm.由题意得AF=AD=20cm.在Rt△ABF中,BF==12cm,FC=BC-BF=20-12=8cm.在Rt△EFC中,EF2=FC2+EC2,即16-x2=82+x2,解得x=6,∴EC的长为6cm.5.证明连接AF.由折叠的性质,得AG=EG,∠AGF=∠EGF.∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF,∴∠EFG=∠EGF,∴EF=EG.又∵AG=EG,∴EF=AG,∴四边形AGEF是平行四边形.又∵AG=EG,∴平行四边形AGEF是菱形,即A,G,E,F四点构成的四边形是菱形.6.D7.解1证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.又由折叠的性质,知∠ABE=∠EBD,∠CDF=∠FDB,∴∠EBD=∠FDB,∴EB∥DF.又∵ED∥BF,∴四边形BFDE是平行四边形.2∵四边形BFDE是菱形,∴BE=ED=BF,∠EBD=∠FBD=∠ABE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ABC=90°,∴∠ABE=30°.∵∠A=90°,AB=2,∴AE=,BF=BE=2AE=,∴菱形BFDE的面积为×2=.8.C9.[答案][解析]设ED=xcm,则根据折叠和矩形的性质,得A′E=AE=5-xcm,A′D=AB=3cm.根据勾股定理,得ED2=A′E2+A′D2,即x2=5-x2+32,解得x=,∴S△DEF=××3=cm2.10.解设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.∵沿EF翻折后点C与点A重合,∴AE=CE=16-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=16-x2,解得x=6,∴AE=16-6=
10.由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.∵矩形ABCD的对边AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF=
10.过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,∴EH=AB=8,AH=BE=6,∴FH=AF-AH=10-6=
4.在Rt△EFH中,EF===
4.11.C12.A13.[答案]105°[解析]在平行四边形ABCD中,AD∥BC,得∠DBC=∠ADB.又由折叠,得∠A=∠A′,∠BDA′=∠BDA,所以∠DBC=∠BDA′.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,以及∠1=50°,可得∠DBC=25°,则∠ABC=∠2+∠DBC=75°.因为AD∥BC,所以∠A+∠ABC=180°,所以∠A=105°,∴∠A′=105°.14.[答案][解析]作CH⊥AB于点H,则BH=2,CH=2,则AH=
8.在Rt△ACH中,设AE=CE=a,则EH=8-a,由CH2+EH2=CE2,得8-a2+22=a2,解得a=,即AE=.15.解1证明在矩形ABCD中,AB∥DC.∵E为AB的中点,∴AE=BE.又由翻折,知EC⊥BP,EP=EB=AE,∴∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP.在△ABP中,∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°,∴∠EPA+∠EPB=∠APB=90°,∴EC∥AF,∴四边形AECF为平行四边形.2证明∵△AEP是等边三角形,∴AP=EP=AE,∠PAB=∠AEP=∠APE=60°,∴∠PEC=∠BEC=60°,∴∠PAB=∠PEC=60°.由1与题可知APB=∠EPC=90°,∴△APB≌△EPC.3∵AB=6,BC=4,E是AB边的中点,∴AE=BE=AB=
3.在Rt△BEC中,EC==5,∵四边形AECF为平行四边形,∴AF=EC=
5.如图,设CE与BP交于点H.∵BE·BC=EC·BH,∴BH=,∴PH=BH=,∴BP=.在Rt△BPA中,AP==,∴PF=.过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G,∴CG=PH=,∴△CPF的面积S=PF·CG=××=.。