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课时作业三十一[
22.4 第2课时 矩形的判定]
一、选择题1.如图K-31-1,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是 A.AB=CD B.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD2.数学课上,老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形.下面是某合作小组的4位同学拟订的方案,其中正确的是 图K-31-1A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是不是直角3.如图K-31-2,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 图K-31-2A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC4.已知线段AB,BC,∠ABC=90°.求作矩形ABCD.图K-31-3
①②是甲、乙两位同学的作业 图K-31-3对于两人的作业,下列说法正确的是 A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
二、填空题5.如图K-31-4,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为________度时,四边形ABFE为矩形.图K-31-46.在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长BA到点D,延长CA到点E,使AD=AB,AC=AE.连接BE,CD,则四边形BCDE是________,判断依据是__________________.7.用刻度尺检验一个四边形是不是矩形,以下方法可行的有________只要填序号即可.
①量出四边及两条对角线,比较对边是否相等,对角线是否相等;
②量出对角线的交点到四个顶点的距离,看是否相等;
③量出一组邻边的长a,b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有a2+b2=c2;
④量出两条对角线的长,看是否相等.8.如图K-31-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为________.图K-31-5
三、解答题9.如图K-31-6,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC,△ABC的外角∠BAF的平分线,BE⊥AE.试判断AB与DE是否相等,并证明你的结论.图K-31-610.如图K-31-7,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.1求证△BOE≌△DOF;2若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.图K-31-711.如图K-31-8,E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.1求证△ABE≌△FCE;2连接AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求证四边形ABFC为矩形.图K-31-812.如图K-31-9,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.1求证△PHC≌△CFP;2证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.图K-31-9方程思想、动点问题xx·石家庄栾城期中如图K-31-10,在▱ABCD中,已知对角线AC,BD相交于点O,若E,F是AC上的两个动点,分别从点A,C以1cm/s的速度向点C,A运动,运动时间为ts.1当点E与点F不重合时,四边形DEBF是不是平行四边形?请说明理由.2若AC=16cm,BD=12cm,点E,F在运动过程中,四边形DEBF能否为矩形?试说明理由.图K-31-10详解详析[课堂达标]1.D [解析]对角线互相平分的四边形是平行四边形.要想使其成为矩形,只需满足对角线相等或有一个角是直角即可.2.D3.C [解析]依题意,得四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成,故EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.要使四边形EFGH为矩形,根据矩形的判定有一个角为直角的平行四边形是矩形,故当AC⊥BD时,∠EFG=90°,四边形EFGH为矩形.故选C.4.A [解析]由甲同学的作业可知,CD=AB,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形.∴甲同学的作业正确;由乙同学的作业可知,CM=AM,MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形.∴乙同学的作业正确.故选A.5.60 [解析]如果四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC.又因为AC=AB,所以△ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°.6.矩形 对角线相等的平行四边形是矩形[解析]如图所示,∵AC=AE,AB=AD,∴四边形BCDE为平行四边形.∵AB=AC,∴BD=EC,∴四边形BCDE为矩形.依据是对角线相等的平行四边形是矩形.故答案为矩形,对角线相等的平行四边形是矩形.7.
①② [解析]
①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,再根据对角线相等判定四边形是矩形,故此选项正确;
②根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形,可判定四边形是矩形,故选项正确;
③根据勾股定理可以判断是不是直角,但不能判断是不是矩形,故此选项不正确;
④量出两条对角线的长,看是否相等,不能判断其是不是矩形,必须两条对角线相等且互相平分才是矩形,故此选项错误.综上所述,用刻度尺检验一个四边形是不是矩形,可行的方法有
①②.8.
4.8 [解析]连接CP,根据矩形的性质可知DE=CP,当DE最小时,CP最小.根据垂线段最短可知当CP⊥AB时,CP最小.根据三角形的面积为定值即可求出CP的长.9.解AB=DE.证明∵AD,AE分别是∠BAC,∠BAF的平分线,∴∠DAB=∠CAB,∠BAE=∠BAF,∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=∠CAB+∠BAF=×180°=90°.∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°.∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形BDAE是矩形,∴AB=DE.10.解1证明∵DF∥BE,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.∵O为AC的中点,AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.在△BOE和△DOF中,∵∴△BOE≌△DOFAAS.2若OD=AC,则四边形ABCD是矩形.证明由1知△BOE≌△DOF,∴OB=OD.∵O是AC的中点,OD=AC,∴OA=OB=OC=OD,即BD=AC,∴四边形ABCD是矩形.11.[解析]1由四边形ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行.根据两直线平行内错角相等得到一对角相等.由E为BC的中点,得到两条线段相等,再由对顶角相等,利用ASA可得出△ABE与△FCE全等;2由△ABE与△FCE全等,根据全等三角形的对应边相等得到AE=EF,再由∠AEC为△ABE的外角,利用外角的性质得到∠AEC=∠EAB+∠ABC,再由∠AEC=2∠ABC,得到∠ABE=∠EAB,利用等角对等边可得出AE=BE,进而得出AF=BC.利用对角线相等的平行四边形为矩形,可得出四边形ABFC为矩形.证明1∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,∴∠ABE=∠FCE.又∵E为BC的中点,∴BE=CE.在△ABE和△FCE中,∵∴△ABE≌△FCEASA.2由1知△ABE≌△FCE,∴AE=EF.又∵∠AEC=2∠ABC,且∠AEC为△ABE的外角,∴∠AEC=∠ABC+∠EAB,∴∠ABC=∠EAB,∴AE=BE,∴AE=EF=EB=EC,∴AE+EF=BE+EC,即AF=BC,∴由对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知四边形ABFC为矩形.12.解1证明∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.∵PF∥AB,∴PF∥CD,∴∠CPF=∠PCH.∵PH∥AD,∴PH∥BC,∴∠PCF=∠CPH.在△PHC和△CFP中,∴△PHC≌△CFPASA.2证明∵EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,∴四边形PEDH与四边形PFBG是平行四边形.∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠B=90°.∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.由1知△PHC≌△CFP,∴S△PHC=S△CFP.同理可得△AEP≌△PGA,∴S△AEP=S△PGA.∵S△ADC=S△CBA,∴S△ADC-S△PHC-S△AEP=S△CBA-S△CFP-S△PGA,∴S矩形PEDH=S矩形PFBG.[素养提升]解1四边形DEBF是平行四边形.理由∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵点E,F分别从点A,C以1cm/s的速度向点O运动,∴AE=CF,∴OE=OF,∴四边形DEBF是平行四边形.2∵四边形DEBF可以为矩形.理由∵四边形DEBF是平行四边形,∴当BD=EF时,四边形DEBF是矩形.∵BD=12cm,∴EF=12cm,∴OE=OF=6cm.∵AC=16cm,∴OA=OC=8cm,∴AE=2cm或AE=14cm.∵动点的速度都是1cm/s,∴t=2s或t=14s.故当运动时间t=2s或t=14s时,四边形DEBF是矩形.。