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2019年高中数学
1.2充分条件与必要条件基础达标北师大版选修2-1
一、选择题1.xx·湖南文,2“1x2”是“x2”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为“1x2”⇒“x2”,而x2“1x2”,故“1x2”是“x2”的充分不必要条件,故选A.2.设x∈R,则“x”是“2x2+x-10”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件,解一元二次不等式的知识.由2x2+x-10得x+12x-10,即x-1或x,又因为x⇒2x2+x-10,而2x2+x-10x,选A.3.xx·揭阳一中期中设集合M={x||x-1|2},N={x|xx-30},那么“a∈M”是“a∈N”的 A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] M={x|-1x3},N={x|0x3},∵NM,∴选A.
二、填空题4.“a=1”是“y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的________条件.[答案] 充分不必要[解析] 由a=1,得y=cos2x-sin2x=cos2x,T==π;反之,y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,由T==π,得a=±
1.5.命题p x
1、x2是方程x2+5x-6=0的两根,命题q x1+x2=-5,那么命题p是命题q的________条件.[答案] 充分不必要条件[解析] ∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,∴x1+x2=-
5.当x1=-1,x2=-4时,x1+x2=-5,而-1,-4不是方程x2+5x-6=0的两根.
三、解答题6.在下列各题中,判定p是q的什么条件.1p x-2=0;q x-2x-3=
0.2p m-2;q方程x2-x-m=0无实根.3p一个四边形是矩形;q四边形的对角线相等.[分析] 看p是否推出q,q是否推出p.[解析] 1∵x-2=0⇒x-2x-3=0;而x-2x-3=0x-2=
0.所以p是q的充分不必要条件.2∵m-2⇒方程x2-x-m=0无实根;而方程x2-x-m=0无实根m-
2.∴p是q的充分不必要条件.3由p⇒q,而qp.所以p是q的充分不必要条件.[点评] 用定义判断p是q的什么条件的基本程序是
①定条件确定条件和结论.
②找推式确定p与q哪一个能推出哪一个.
③下结论根据推式和结论下定义.
一、选择题1.xx·天津理设a,b∈R,则“ab”是“a|a|b|b|”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性.当ab⇒a|a|b|b|当ab0时,a|a|-b|b|=a2-b2=a+ba-b0成立当ba0时a|a|-b|b|=a2+b2=b-ab+a0成立当b0a时,a|a|-b|b|=a2+b20成立同理由a|a|b|b|⇒ab.选C.2.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力.由已知mα,若α⊥β则有m⊥β,或m∥β或m与β相交;反之,若m⊥β,∵mα,∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m⊥β的必要不充分条件.故选B.3.若a、b为实数,则“0ab1”是“a或b”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识.“0ab1”,则a,b同号,若a0,b0,由ab1得a;若a0,b0,由ab1,得b,故“0ab1”⇒“a或b”;当a时,a-=0,若b0,则ab1,但ab不一定满足ab0;若b0,则ab1,故“a或b”“0ab1”.选A.4.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件.由x≥2且y≥2,则x2+y2≥4一定成立,而x2+y2≥4时,x≥2且y≥2不一定成立,如x≥3且y≥0,故是充分不必要条件.5.xx·江西临川十中期中已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“a-mb⊥a”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=60°,∴a·b=1×2×cos60°=1,a-mb⊥a⇔a-mb·a=0⇔|a|2-ma·b=0⇔m=1,故选C.
二、填空题6.用“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分也不必要条件”填空1“m≠3”是“|m|≠3”的________;2“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________;3“ab,cd”是“a-cb-d”的________.[答案] 1必要不充分条件2充分不必要条件3既不充分也不必要条件7.设m,n是整数,则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数的”________.[答案] 充分不必要条件[解析] 当“m,n均为偶数”时,“m+n是偶数”是成立的;而当“m+n是偶数”时,“m,n均为偶数”不一定成立,如3+5=8为偶数,但35都是奇数,∴“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分不必要条件.
三、解答题8.指出下列各组命题中p是q的什么条件,q是p的什么条件.1p|x|=|y|;q x=y;2p c=0;q抛物线y=ax2+bx+ca≠0过原点;3p四边形ABCD为平行四边形;q四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.[解析] 观察各题中是由p⇒q,还是由q⇒p,然后利用定义得答案.1因为“p⇒q”为假命题,“q⇒p”为真命题,所以p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.2c=0⇒抛物线y=ax2+bx+ca≠0过原点;抛物线y=ax2+bx+ca≠0过原点⇒c=0,所以p是q的充要条件,q是p的充要条件.3因为p⇔q为真,所以p是q的充要条件,q是p的充要条件.9.设p|4x-3|≤1;q x2-2a+1x+a2+a≤0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.[解析] ∵|4x-3|≤1,∴≤x≤1,即p≤x≤
1.由x2-2a+1x+a2+a≤0,得x-a[x-a+1]≤0,∴a≤x≤a+1,即q a≤x≤a+
1.∵p是q的充分不必要条件,∴p⇒q,qp.∴{x|≤x≤1}{x|a≤x≤a+1}.故有,解得0≤a≤.所以a的取值范围是0≤a≤.10.设a,b,c为△ABC的三边,求证方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.[证明] 1必要性设方程x2+2ax-b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根x0,则x+2ax0+b2=0,x+2cx0-b2=0,两式相减可得x0=,将此式代入x+2ax0+b2=0可得b2+c2=a2,故∠A=90°.2充分性∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,b2=a2-c2
①将
①式代入方程x2+2ax+b2=0,可得x2+2ax+a2-c2=0,即x+a-cx+a+c=
0.将
①代入方程x2+2cx-b2=
0.可得x2+2cx+c2-a2=0,即x+c-ax+c+a=
0.故两方程有公共根x=-a+c.所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.。