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2019年高中数学
1.
2.4第2课时两平面垂直的判定课时作业苏教版必修2【课时目标】 1.掌握二面角、二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理判定两个平面垂直.1.二面角一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.______________叫做二面角的棱.________________叫做二面角的面.二面角α的范围为________________.2.平面与平面的垂直
①定义如果两个平面所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.
②面面垂直的判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.符号表示⇒α⊥β.
一、填空题1.下列命题
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是________填序号.2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条.3.设有直线m、n和平面α、β,则下列结论中正确的是________填序号.
①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;
②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.4.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个.5.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的大小为________.6.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中成立的是________填序号.
①BC∥面PDF;
②DF⊥面PAE;
③面PDF⊥面ABC;
④面PAE⊥面ABC.7.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________.8.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.9.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断
①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题____________.
二、解答题10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点.求证平面BEF⊥平面BGD.11.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.1证明平面PBE⊥平面PAB;2求二面角A—BE—P的大小.能力提升12.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证1EF∥平面ABC;2平面A1FD⊥平面BB1C1C.13.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.1求证BC⊥平面PAC.2是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?并说明理由.1.证明两个平面垂直的主要途径1利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.2面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论依据并有利于证明,不能随意添加.3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的.第2课时 两平面垂直的判定答案知识梳理1.两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°2.
①直二面角
②垂线 l⊂β作业设计1.
②④解析
①不符合二面角定义,
③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角.2.0解析 若存在1条,则α⊥β,与已知矛盾.3.
①③解析
②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直.4.1或无数解析 当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直,当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.5.60°解析 如图所示,由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角.∵DO=OB=BD=,∴∠BOD=60°.6.
①②④解析 如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF.∴
①正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴
②正确.∴平面ABC⊥平面PAEBC⊥平面PAE.∴
④正确.7.45°解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45°.8.5解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,又PA⊥AD,PA⊥AB且AD⊥AB,∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角,∴面DPA⊥面PAB.又BC⊥面PAB,∴面PBC⊥面PAB,同理DC⊥面PDA,∴面PDC⊥面PDA.9.
①③④⇒
②或
②③④⇒
①10.证明 ∵AB=BC,CD=AD,G是AC的中点,∴BG⊥AC,DG⊥AC,∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC,∴EF⊥平面BGD.∵EF⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面BGD.11.1证明 如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.2解 由1知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,则∠PBA=60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.12.证明 1由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC.BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.2由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1,故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D⊂平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.13.1证明 ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.2解 ∵DE∥BC,又由1知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°,故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.。