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2019年高中数学
1.
3.1函数的单调性与导数同步测试新人教A版选修2-2
一、选择题1.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为 A.-∞,-1]和
[01]B.[-10]和[1,+∞C.[-11]D.-∞,-1]和[1,+∞[答案] A[解析] y′=4x3-4x,令y′0,即4x3-4x0,解得x-1或0x1,所以函数的单调减区间为-∞,-1和01,故应选A.2.函数fx=ax3-x在R上为减函数,则 A.a≤0B.a1C.a2D.a≤[答案] A[解析] f′x=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤
0.3.已知对任意实数x,有f-x=-fx,g-x=gx,且x0时,f′x0,g′x0,则x0时 A.f′x0,g′x0B.f′x0,g′x0C.f′x0,g′x0D.f′x0,g′x0[答案] B[解析] fx为奇函数,gx为偶函数,奇偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同反,∴x0时,f′x0,g′x
0.4.xx·武汉市实验中学高二期末设p fx=x3+2x2+mx+1在-∞,+∞内单调递增,q m,则p是q的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] f′x=3x2+4x+m,∵fx在R上单调递增,∴f′x≥0在R上恒成立,∴Δ=16-12m≤0,∴m≥,故p是q的必要不充分条件.5.设f′x是函数fx的导函数,y=f′x的图象如图所示,则y=fx的图象最有可能的是 [答案] C[分析] 由导函数f′x的图象位于x轴上方下方,确定fx的单调性,对比fx的图象,用排除法求解.[解析] 由f′x的图象知,x∈-∞,0时,f′x0,fx为增函数,x∈02时,f′x0,fx为减函数,x∈2,+∞时,f′x0,fx为增函数.只有C符合题意,故选C.6.xx·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考设函数Fx=是定义在R上的函数,其中fx的导函数f′x满足f′xfx对于x∈R恒成立,则 A.f2e2f0,fxxe2012f0B.f2e2f0,fxxe2012f0C.f2e2f0,fxxe2012f0D.f2e2f0,fxxe2012f0[答案] C[解析] ∵函数Fx=的导数F′x==0,∴函数Fx=是定义在R上的减函数,∴F2F0,即,故有f2e2f0.同理可得fxxe2012f0.故选C.
二、填空题7.函数y=lnx2-x-2的单调递减区间为________.[答案] -∞,-1[解析] 函数y=lnx2-x-2的定义域为2,+∞∪-∞,-1,令fx=x2-x-2,f′x=2x-10,得x,∴函数y=lnx2-x-2的单调减区间为-∞,-1.8.xx·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考已知函数fx=x3-ax2-3x在区间[1,+∞上是增函数,则实数a的取值范围是________.[答案] -∞,0][解析] ∵fx=x3-ax2-3x,∴f′x=3x2-2ax-3,又因为fx=x3-ax2-3x在区间[1,+∞上是增函数,f′x=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞上恒成立,∴解得a≤0,故答案为-∞,0].9.xx·郑州网校期中联考若fx=-x2+blnx+2在-1,+∞上是减函数,则b的取值范围是__________________.[答案] b≤-1[解析] fx在-1,+∞上为减函数,∴f′x≤0在-1,+∞上恒成立,∵f′x=-x+,∴-x+≤0,∵b≤xx+2在-1,+∞上恒成立,∴b≤-
1.
三、解答题10.xx·甘肃省金昌市二中期中已知函数fx=x3+ax2+bxa、b∈R的图象过点P12,且在点P处的切线斜率为
8.1求a、b的值;2求函数fx的单调区间.[解析] 1∵函数fx的图象过点P12,∴f1=
2.∴a+b=
1.
①又函数图象在点P处的切线斜率为8,∴f′1=8,又f′x=3x2+2ax+b,∴2a+b=
5.
②解由
①②组成的方程组,可得a=4,b=-
3.2由1得f′x=3x2+8x-3,令f′x0,可得x-3或x;令f′x0,可得-3x.∴函数fx的单调增区间为-∞,-3,,+∞,单调减区间为-3,.
一、选择题11.xx·天津理,4函数fx=2x+x3-2在区间01内的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3[答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力.∵fx=2x+x3-20x1,∴f′x=2xln2+3x20在01上恒成立,∴fx在01上单调递增.又f0=20+0-2=-10,f1=2+1-2=10,f0f10,则fx在01内至少有一个零点,又函数y=fx在01上单调递增,则函数fx在01内有且仅有一个零点.12.xx·北京西城区期末已知函数fx及其导数f′x,若存在x0,使得fx0=f′x0,则称x0是fx的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的函数的个数是
①fx=x2,
②fx=e-x,
③fx=lnx,
④fx=tanx,
⑤fx=x+A.2 B.3 C.4 D.5[答案] B[解析]
①中的函数fx=x2,f′x=2x,要使fx=f′x,则x2=2x,解得x=0或2,可见函数有巧值点;对于
②中的函数,要使fx=f′x,则e-x=-e-x,由对任意的x,有e-x0,可知方程无解,原函数没有巧值点;对于
③中的函数,要使fx=f′x,则lnx=,由函数fx=lnx与y=的图象有交点知方程有解,所以原函数有巧值点;对于
④中的函数,要使fx=f′x,则tanx=,即sinxcosx=1,显然无解,所以原函数没有巧值点;对于
⑤中的函数,要使fx=f′x,则x+=1-,即x3-x2+x+1=0,设函数gx=x3-x2+x+1,g′x=3x2-2x+10且g-10,g00,显然函数gx在-10上有零点,原函数有巧值点,故
①③⑤正确,选C.13.xx·天门市调研已知函数fx是定义在R上的可导函数,其导函数记为f′x,若对于任意实数x,有fxf′x,且y=fx-1为奇函数,则不等式fxex的解集为 A.-∞,0B.0,+∞C.-∞,e4D.e4,+∞[答案] B[解析] 令gx=,则g′x==0,所以gx在R上是减函数,又y=fx-1为奇函数,所以f0-1=0,所以f0=1,g0=1,所以原不等式可化为gx=1=g0,所以x0,故选B.14.已知函数y=xf′x的图象如图1所示其中f′x是函数fx的导函数,下面四个图象中,y=fx的图象大致是 [答案] C[解析] 当0x1时xf′x0,∴f′x0,故y=fx在01上为减函数.当x1时xf′x0,∴f′x0,故y=fx在1,+∞上为增函数,因此否定A、B、D故选C.
二、填空题15.xx·衡阳六校联考在区间[-a,a]a0内图象不间断的函数fx满足f-x-fx=0,函数gx=ex·fx,且g0·ga0,又当0xa时,有f′x+fx0,则函数fx在区间[-a,a]内零点的个数是________.[答案] 2[解析] ∵f-x-fx=0,∴fx为偶函数,∵gx=ex·fx,∴g′x=ex[f′x+fx]0,∴gx在[0,a]上为单调增函数,又∵g0·ga0,∴函数gx=ex·fx在[0,a]上只有一个零点,又∵ex≠0,∴fx在[0,a]上有且仅有一个零点,∵fx是偶函数,且f0≠0,∴fx在[-a,a]上有且仅有两个零点.
三、解答题16.设函数fx=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点1,-11.1求a、b的值;2讨论函数fx的单调性.[解析] 1求导得f′x=3x2-6ax+3b.由于fx的图象与直线12x+y-1=0相切于点1,-11,所以f1=-11,f′1=-12,即,解得a=1,b=-
3.2由a=1,b=-3得f′x=3x2-6ax+3b=3x2-2x-3=3x+1x-3.令f′x0,解得x-1或x3;又令f′x0,解得-1x
3.所以当x∈-∞,-1时,fx是增函数;当x∈3,+∞时,fx也是增函数;当x∈-13时,fx是减函数.17.xx·山师附中学分认定考试已知函数fx=alnx++xa0.若函数y=fx在点1,f1处的切线与直线x-2y=0垂直.1求实数a的值;2求函数fx的单调区间.[解析] 1f′x=-+1,∵f′1=-2,∴2a2-a-3=0,∵a0,∴a=.2f′x=-+1==,∵当x∈0,时,f′x0;当x∈,+∞时,f′x0,∴fx的单调递减区间为0,,单调递增区间为,+∞.。