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2019年高中数学
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3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修2【课时目标】 1.了解球的体积和表面积公式.2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.3.培养学生的空间想象能力和思维能力.1.球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S=________,即球的表面积等于它的大圆面积的________倍.2.球的体积设球的半径为R,则球的体积V=________.
一、选择题1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是 A.B.C.D.2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的 A.2倍B.2倍C.倍D.倍3.正方体的内切球和外接球的体积之比为 A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶94.若三个球的表面积之比为1∶2∶3,则它们的体积之比为 A.1∶2∶3B.1∶∶C.1∶2∶3D.1∶4∶75.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为345,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为 A.25πB.50πC.125πD.以上都不对6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为 A.4∶9B.9∶4C.4∶27D.27∶4
二、填空题7.毛泽东在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约________万里.8.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4cm,则钢球的半径是________.9.1表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是________;2体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是________.
三、解答题10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计,使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?11.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.能力提升12.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形,如图所示,则 A.以上四个图形都是正确的B.只有24是正确的C.只有4是错误的D.只有12是正确的13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题,运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体.1.3.2 球的体积和表面积答案知识梳理1.4πR2 4 2.πR3作业设计1.A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a=r,再由体积公式求得体积比为.]2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍,则体积扩大到原来的2倍.]3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于a.]4.C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3=1∶∶,从而得体积之比为V1∶V2∶V3=1∶2∶3.]5.B [外接球的直径2R=长方体的体对角线=a、b、c分别是长、宽、高.]6.A [设球半径为r,圆锥的高为h,则π3r2h=πr3,可得h∶r=4∶9.]7.4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍,日行8万里指地球大圆的周长,即2πR地球=8,故R地球=万里,所以火星的半径为万里,其大圆的周长为4万里.8.3cm解析 设球的半径为r,则36π=πr3,可得r=3cm.9.1球 2球解析 设正方体的棱长为a,球的半径为r.1当6a2=4πr2时,V球=πr3=a3a3=V正方体;2当a3=πr3时,S球=4πr2=6a26a2=S正方体.10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V圆锥≥V半球,V半球=×πr3=×π×43,V圆锥=Sh=πr2h=π×42×h.依题意π×42×h≥×π×43,解得h≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于8cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=πrl=πr,当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8cm时,制造的杯子最省材料.11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·r2·3r-πr3=πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=π·h2·h=πh3,由V=V′,得h=r.即容器中水的深度为r.12.C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆过球心的截面圆.]13.解 设正方体的棱长为a.如图所示.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4πr=πa2.
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2r2=a,r2=a,所以S2=4πr=2πa2.
③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4πr=3πa2.综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.。