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2019年高中数学
1.
3.3函数的最大小值与导数同步测试新人教A版选修2-2
一、选择题1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-21]上的最大值、最小值分别是 A.12;-8B.1;-8C.12;-15D.5;-16[答案] A[解析] y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2舍去.x=-2时y=1;x=-1时y=12;x=1时y=-
8.∴ymax=12,ymin=-
8.故选A.2.xx·北京东城区联考如图是函数y=fx的导函数f′x的图象,则下面判断正确的是 A.在区间-21上fx是增函数B.在13上fx是减函数C.在45上fx是增函数D.当x=4时,fx取极大值[答案] C[解析] 由导函数y=f′x的图象知,fx在-21上先减后增,在13上先增后减,在45上单调递增,x=4是fx的极小值点,故A、B、D错误,选C.3.xx·安徽程集中学期中已知函数fxx∈R满足f′x>fx,则 A.f2e2f0B.f2≤e2f0C.f2=e2f0D.f2e2f0[答案] D[分析] 所给四个选项实质是比较f2与e2f0的大小,即比较与的大小,故构造函数Fx=解决.[解析] 设Fx=,则F′x=0,∴Fx在R上为增函数,故F2F0,∴,即f2e2f0.4.函数fx=x1-x2在
[01]上的最大值为 A.B.C.D.[答案] A[解析] f′x=1-3x2=0,得x=∈
[01],∵f=,f0=f1=
0.∴fxmax=.5.xx·河南淇县一中模拟设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则 A.a-3B.a-3C.a-D.a-[答案] B[解析] y′=aeax+3,由条件知,方程aeax+3=0有大于零的实数根,∴0-1,∴a-
3.6.xx·开滦二中期中若函数fx=x3-6bx+3b在01内有极小值,则实数b的取值范围是 A.01B.-∞,1C.0,+∞D.0,[答案] D[解析] f′x=3x2-6b,∵fx在01内有极小值,∴在01内存在点x0,使得在0,x0内f′x0,在x01内f′x0,由f′x=0得,x2=2b0,∴∴0b.7.xx·抚顺市六校联合体期中已知R上可导函数fx的图象如图所示,则不等式x2-2x-3f′x0的解集为 A.-∞,-2∪1,+∞B.-∞,-2∪12C.-∞,-1∪-10∪2,+∞D.-∞,-1∪-11∪3,+∞[答案] D[解析] 由fx的图象知,在-∞,-1上f′x0,在-11上f′x0,在1,+∞上f′x0,又x2-2x-30的解集为-∞,-1∪3,+∞,x2-2x-30的解集为-13.∴不等式x2-2x-3f′x0的解集为-∞,-1∪-11∪3,+∞.
二、填空题8.xx·三亚市一中月考曲线y=在点11处的切线为l,则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是________.[答案] 2-1[解析] y′|x=1=-|x=1=-1,∴切线方程为y-1=-x-1,即x+y-2=0,圆心-20到直线的距离d=2,圆的半径r=1,∴所求最近距离为2-
1.9.已知函数fx=xx-c2在x=2处取极大值,则常数c的值为________.[答案] 6[解析] fx=xx-c2=x3-2cx2+c2x,f′x=3x2-4cx+c2,令f′2=0解得c=2或
6.当c=2时,f′x=3x2-8x+4=3x-2x-2,故fx在x=2处取得极小值,不合题意舍去;当c=6时,f′x=3x2-24x+36=3x2-8x+12=3x-2x-6,故fx在x=2处取得极大值.
三、解答题10.xx·淄博市临淄中学学分认定考试已知函数fx=x3+ax2+bx+5,曲线y=fx在点P1,f1处的切线方程为y=3x+
1.1求a、b的值;2求y=fx在[-31]上的最大值.[解析] 1依题意可知点P1,f1为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f1=3×1+1=4,∴f1=1+a+b+5=4,即a+b=-2,又由fx=x3+ax2+bx+5得,f′x=3x2+2ax+b,而由切线y=3x+1的斜率可知f′1=3,∴3+2a+b=3,即2a+b=0,由解得∴a=2,b=-
4.2由1知fx=x3+2x2-4x+5,f′x=3x2+4x-4=3x-2x+2,令f′x=0,得x=或x=-
2.当x变化时,fx,f′x的变化情况如下表x-3-3,-2-2-2,,11f′x+0-0+fx8增极大值减极小值增4∴fx的极大值为f-2=13,极小值为f=,又f-3=8,f1=4,∴fx在[-31]上的最大值为
13.
一、选择题11.函数fx=x4-4x|x|1 A.有最大值,无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,有最小值D.既无最大值,也无最小值[答案] D[解析] f′x=4x3-4=4x-1x2+x+1.令f′x=0,得x=
1.又x∈-11且1∉-11,∴该方程无解,故函数fx在-11上既无极值也无最值.故选D.12.xx·海淀区高二期中函数fx在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f′x的图象可能为 [答案] C[解析] 由图象知,fx在x0时,图象增→减→增,x0时,单调递增,故f′x在x0时,其值为+→-→+,在x0时为+,故选C.13.若函数fx=x3-12x在区间k-1,k+1上不是单调函数,则实数k的取值范围是 A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3B.-3k-1或1k3C.-2k2D.不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y′=3x2-12,由y′0得函数的增区间是-∞,-2和2,+∞,由y′0得函数的减区间是-22,由于函数在k-1,k+1上不是单调函数,所以有k-1-2k+1或k-12k+1,解得-3k-1或1k3,故选B.14.函数fx=x3+ax-2在区间[1,+∞上是增函数,则实数a的取值范围是 A.[3,+∞B.[-3,+∞C.-3,+∞D.-∞,-3[答案] B[解析] ∵fx=x3+ax-2在[1,+∞上是增函数,∴f′x=3x2+a≥0在[1,+∞上恒成立,即a≥-3x2在[1,+∞上恒成立,又∵在[1,+∞上-3x2max=-3,∴a≥-3,故应选B.
二、填空题15.xx·苏州五中高二期中已知函数fx是定义在R上的奇函数,f1=0,当x0时,有0,则不等式x2fx0的解集是________.[答案] -10∪1,+∞[解析] 令gx=x≠0,∵x0时,0,∴g′x0,∴gx在0,+∞上为增函数,又f1=0,∴g1=f1=0,∴在0,+∞上gx0的解集为1,+∞,∵fx为奇函数,∴gx为偶函数,∴在-∞,0上gx0的解集为-10,由x2fx0得fx0,∴fx0的解集为-10∪1,+∞.
三、解答题16.xx·陕西师大附中一模设函数fx=ex-x2-x.1若k=0,求fx的最小值;2若k=1,讨论函数fx的单调性.[解析] 1k=0时,fx=ex-x,f′x=ex-
1.当x∈-∞,0时,f′x0;当x∈0,+∞时,f′x0,所以fx在-∞,0上单调减小,在0,+∞上单调增加,故fx的最小值为f0=
1.2若k=1,则fx=ex-x2-x,定义域为R.∴f′x=ex-x-1,令gx=ex-x-1,则g′x=ex-1,由g′x≥0得x≥0,所以gx在[0,+∞上单调递增,由g′x0得x0,所以gx在-∞,0上单调递减,∴gxmin=g0=0,即f′xmin=0,故f′x≥
0.所以fx在R上单调递增.17.xx·沈阳市模拟设函数fx=x3+ax2+x+1,a∈R.1若x=1时,函数fx取得极值,求函数fx的图像在x=-1处的切线方程;2若函数fx在区间,1内不单调,求实数a的取值范围.[解析] 1f′x=3x2+2ax+1,由f′1=0,得a=-2,∴fx=x3-2x2+x+1,当x=-1时,y=-3,即切点-1,-3,k=f′x0=3x-4x0+1令x0=-1得k=8,∴切线方程为8x-y+5=
0.2fx在区间,1内不单调,即f′x=0在,1有解,所以3x2+2ax+1=02ax=-3x2-1,由x∈,1,2a=-3x-,令hx=-3x-,∴h′x=-3+0,知hx在,1单调递减,在,]上单调递增,所以h1hx≤h,即hx∈[-4,-2],-4≤2a≤-2,即-2a≤-,而当a=-时,f′x=3x2-2x+1=x-12≥0,∴舍去,综上a∈-2,-.。