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2019年高中数学
1.
5.3定积分的概念同步测试新人教A版选修2-2
一、选择题1.已知fxdx=6,则6fxdx等于 A.6 B.6b-aC.36D.不确定[答案] C[解析] 6fxdx=6fxdx=
36.故应选C.2.设fx=则-1fxdx的值是 A.x2dxB.2xdxC.x2dx+2xdxD.2xdx+x2dx[答案] D[解析] 由定积分性质3求fx在区间[-11]上的定积分,可以通过求fx在区间[-10]与
[01]上的定积分来实现,显然D正确,故应选D.3.若fxdx=1,gxdx=-3,则[2fx+gx]dx= A.2B.-3C.-1D.4[答案] C[解析] [2fx+gx]dx=2fxdx+gxdx=2×1-3=-
1.4.由函数y=-x的图象,直线x=
1、x=
0、y=0所围成的图形的面积可表示为 A.-xdxB.|-x|dxC.-1xdxD.-xdx[答案] B[解析] 围成图形如图,由定积分的几何意义可知,所求图形面积S=--xdx=|-x|dx,故选B.5.∫cosxdx= A.0B.πC.-πD.2π[答案] A[解析] 作出[02π]上y=cosx的图象如图,由y=cosx图象的对称性和定积分的几何意义知,阴影部分在x轴上方和下方部分的面积相等,积分值符号相反,故∫cosxdx=
0.6.下列命题不正确的是 A.若fx是连续的奇函数,则fxdx=0B.若fx是连续的偶函数,则fxdx=2fxdxC.若fx在[a,b]上连续且恒正,则fxdx0D.若fx在[a,b上连续且fxdx0,则fx在[a,b上恒正[答案] D[解析] 本题考查定积分的几何意义,对A因为fx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对B因为fx是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中fx也可以小于0,但必须有大于0的部分,且fx0的曲线围成的面积比fx0的曲线围成的面积大.
二、填空题7.由y=sinx、x=
0、x=、y=0所围成的图形的面积可以写成________.[答案] sinxdx[解析] 由定积分的几何意义可得.
8.2x-4dx=________.[答案] 12[解析] 如图A0,-4,B68,M20,S△AOM=×2×4=4,S△MBC=×4×8=16,∴2x-4dx=16-4=
12.9.设y=fx为区间
[01]上的连续函数,且恒有0≤fx≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分fxdx.先产生两组每组N个区间
[01]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点xi,yii=12,…,N.再数出其中满足yi≤fxii=12,…,N的点数N1,那么由随机模拟方法可得积分fxdx的近似值为________.[答案] [分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖.[解析] 因为0≤fx≤1且由积分的定义知fxdx是由直线x=0,x=1及曲线y=fx与x轴所围成的面积.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形面积为1,且满足yi≤fxi的有N1个点,即在函数fx的图象上及图象下方有N1个点,所以用几何概型的概率公式得fx在x=0到x=1上与x轴围成的面积为×1=,即fxdx=.
三、解答题10.利用定积分的几何意义,解释下列等式.12xdx=1;2-1dx=.[解析] 12xdx表示由直线y=2x,直线x=
0、x=
1、y=0所围成的图形的面积,如图所示,阴影部分为直角三角形,所以S△=×1×2=1,故2xdx=
1.2dx表示由曲线y=,直线x=-
1、x=
1、y=0所围成的图形面积而y=表示圆x2+y2=1在x轴上方的半圆,如图所示阴影部分,所以S半圆=,故dx=.
一、选择题11.设fx是[a,b]上的连续函数,则fxdx-ftdt的值 A.小于零B.等于零C.大于零D.不能确定[答案] B[解析] fxdx和ftdt都表示曲线y=fx与x=a,x=b及y=0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为
0.12.定积分xdx与dx的大小关系是 A.xdx=dxB.xdxdxC.xdxdxD.无法确定[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出y=与y=x的图象如图,由图可见,当x∈
[01]时,y=的图象在y=x的图象上方,由定积分的几何意义知,xdxdx.13.xx·太原模拟已知t0,若2x-2dx=8,则t= A.1B.-2C.-2或4D.4[答案] D[解析] 作出函数fx=2x-2的图象与x轴交于点A10,与y轴交于点B0,-2,易求得S△OAB=1,∵2t-2dx=8,且2t-2dx=-1,∴t1,∴S△AEF=|AE||EF|=×t-12t-2=t-12=9,∴t=4,故选D.14.下列等式不成立的是 A.[mfx+ngx]dx=mfxdx+ngxdxB.[fx+1]dx=fxdx+b-aC.fxgxdx=fxdx·gxdxD.sinxdx=-2πsinxdx+∫sinxdx[答案] C[解析] 利用定积分的性质进行判断,选项C不成立.例如xdx=,x2dx=,x3dx=.但x3dx≠xdx·x2dx.故选C.
二、填空题15.已知fx是一次函数,其图象过点34且fxdx=1,则fx的解析式为_______.[答案] fx=x+[解析] 设fx=ax+ba≠0,∵fx图象过34点,∴3a+b=
4.又fxdx=ax+bdx=axdx+bdx=a+b=
1.解方程组得∴fx=x+.16.比较大小exdx________xdx.[答案] [解析] exdx--2xdx=ex-xdx,令fx=ex-x-2≤x≤0,则f′x=ex-1≤0,∴fx在[-20]上为减函数,又f0=10,∴fx0,由定积分的几何意义又知fxdx0,则由定积分的性质知,-2exdx-2xdx.17.利用定积分的几何意义,计算dx=________.[答案] -[解析] 由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=,∠AOB=,∴S=×4π-×1×=-.
三、解答题18.已知函数fx=求fx在区间[-22π]上的积分.[解析] 由定积分的几何意义知x3dx=0,2xdx==π2-4,∫cosxdx=0,由定积分的性质得fxdx=-2x3dx+2xdx+∫cosxdx=π2-
4.。