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2019年高中数学
1.7定积分的简单应用同步测试新人教A版选修2-2∴S=F1-F-3=+9=.故应选C.2.由曲线y=x2-
1、直线x=
0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积如图是 A.x2-1dxB.|x2-1dx|C.|x2-1|dxD.x2-1dx+x2-1dx[答案] C[解析] y=|x2-1|将x轴下方阴影反折到x轴上方,其定积分为正,故应选C.3.xx·大庆实验中学高二期中曲线y=x3-3x和y=x围成的图形面积为 A.4 B.8 C.10 D.9[答案] B[解析] 由解得或或∵两函数y=x3-3x与y=x均为奇函数,∴S=2[x-x3-3x]dx=2·4x-x3dx=22x2-x4|=8,故选B.4.一物体以速度v=3t2+2tm/s做直线运动,则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是 A.31m B.36m C.38m D.40m[答案] B[解析] S=3t2+2tdt=t3+t2=33+32=36m,故应选B.5.一物体在力Fx=4x-1单位N的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处单位m,则力Fx所做的功为 A.8J B.10J C.12J D.14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有W=4x-1dx=2x2-x=14J,故应选D.6.若某产品一天内的产量单位百件是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=,那么从3小时到6小时期间内的产量为 A.B.3-C.6+3D.6-3[答案] D[解析] dt==6-3,故应选D.
二、填空题7.由曲线y2=2x,y=x-4所围图形的面积是________.[答案] 18[解析] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组得交点坐标为2,-2,84.因此所求图形的面积S=-2y+4-dy取Fy=y2+4y-,则F′y=y+4-,从而S=F4-F-2=
18.8.一物体沿直线以速度v=m/s运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是________.[答案] 11-1[解析] S=∫dt=1+t=11-1.9.由两条曲线y=x2,y=x2与直线y=1围成平面区域的面积是________.[答案] [解析] 解法1如图,y=1与y=x2交点A11,y=1与y=交点B21,由对称性可知面积S=2x2dx+dx-x2dx=.解法2同解法1求得A11,B21.由对称性知阴影部分的面积S=2·[x2-x2dx+1-x2dx]=2·[x3|+x-x3|]=2×+=.解法3同解法1求得A11B,21,C-11,D-2,1.S=1-x2dx--11-x2dx=x-x3|-x-x3|=-=.解法4:同解法1求得A11,B21,取y为积分变量,由对称性知,S=22-dy=2dy=2×y|=.
三、解答题10.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.[解析] 由解得x=0及x=
3.从而所求图形的面积S=[x+3-x2-2x+3]dx=-x2+3xdx==.
一、选择题1.如图所示,阴影部分的面积是 A.2 B.2-C.D.[答案] C[解析] S=3-x2-2xdx即Fx=3x-x3-x2,则F1=3-1-=,F-3=-9-9+9=-
9.能力拓展提升
一、选择题11.∫exdx的值为 A.-1B.1C.e2-1D.e2[答案] B[解析] ∫exdx=ex|=eln2-e0=2-1=
1.12.xx·北师大附中高二期中利用定积分的几何意义,可求得dx= A.9πB.πC.πD.π[答案] B[解析] 由定积分的几何意义知,dx表示圆x2+y2=9位于x轴上方部分即半圆的面积,∴dx=×π×32=.13.xx·辽宁实验中学高二期中直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积是 A.20B.C.D.[答案] C[解析] 由解得或∴S=2x+3-x2dx=x2+3x-x3|=.故选C.14.xx·福建理,6如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型.联立解得,或者,∴O00,B11,∴S阴影=-xdx=x-|=-=,∴P===.
二、填空题15.xx·福建理,14如图,在边长为ee为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.[答案] [解析] ∵S阴=2e-exdx=2ex-ex|=2,S正方形=e2,∴P=.
三、解答题16.xx·广东省中山一中月考设fx是二次函数,其图象过点01,且在点-2,f-2处的切线方程为2x+y+3=
0.1求fx的表达式;2求fx的图象与两坐标轴所围成图形的面积;3若直线x=-t0t1把fx的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.[解析] 1设fx=ax2+bx+c,∵其图象过点01,∴c=1,又∵在点-2,f-2处的切线方程为2x+y+3=0,∴∵f′x=2ax+b,∴∴a=1,b=2,故fx=x2+2x+
1.2依题意,fx的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积S=-1x2+2x+1dx=x3+x2+x|=.3依题意,有S=-tx2+2x+1dx=x3+x2+x|=,即t3-t2+t=,∴2t3-6t2+6t-1=0,∴2t-13=-1,∴t=1-.17.xx·重庆八中月考如图,设点P在曲线y=x2上,从原点向A24移动,记直线OP与曲线y=x2所围成图形的面积为S1,直线OP、直线x=2与曲线y=x2所围成图形的面积为S
2.1当S1=S2时,求点P的坐标;2当S1+S2取最小值时,求点P的坐标及此最小值.[解析] 1设点P的横坐标为t0t2,则点P的坐标为t,t2,直线OP的方程为y=tx.S1=tx-x2dx=t3,S2=x2-txdx=-2t+t3,因为S1=S2,所以t3=-2t+t3,解得t=,故点P的坐标为,.2令S=S1+S2,由1知,S=t3+-2t+t3=t3-2t+,则S′=t2-2,令S′=0,得t2-2=0,因为0t2,所以t=,又当0t时,S′0;当t2时,S′0;故当t=时,S1+S2有最小值,最小值为-,此时点P的坐标为,2.。