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2019年高中数学2-4-2抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修2-1
一、选择题每小题6分,共36分1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为 A.x2=±3y B.y2=±6xC.x2=±12yD.y2=±6y解析对称轴为y轴可设抛物线方程为x2=mym≠0,又∵||=3,∴m=±
12.∴抛物线方程为x2=±12y.答案C2.设过抛物线y2=2pxp0的焦点的弦为AB,则|AB|的最小值为 A.B.pC.2pD.无法确定解析由题意得当AB⊥x轴时,|AB|取最小值,为2p.答案C3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2pxp0,则 A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析∵直线y=kx-k=kx-1,∴直线过点10又点10在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案C4.过点0,-2的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于 A.2B.C.2D.解析设直线方程为y=kx-2,Ax1,y
1、Bx2,y2.由得k2x2-4k+2x+4=
0.∵直线与抛物线交于A、B两点,∴Δ=16k+22-16k20,即k-
1.又==2,∴k=2或k=-1舍去.∴|AB|=|x1-x2|=·==
2.答案C5.2011·全国高考已知抛物线C y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB= A.B.C.-D.-解析由得x2-5x+4=0,∴x=1或x=
4.不妨设A44,B1,-2,则||=5,||=2,·=34·0,-2=-8,∴cos∠AFB===-.故选D.答案D6.已知直线y=kx+2k0与抛物线C y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于 A.B.C.D.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,易知x10,x20,由得k2x2+4k2-8x+4k2=0,∴x1x2=4,
①根据抛物线的定义得,|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2,∵|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2,
②由
①②得x2=1,∴B12,代入y=kx+2得k=,选D.答案D
二、填空题每小题8分,共24分7.过抛物线y2=2pxp0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=________.解析直线y=x-,故∴x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,∴4p=8,p=
2.答案28.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P22为AB的中点,则抛物线C的方程为________.解析设抛物线方程为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得x2-kx=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,∴x1+x2=k.又∵P22为AB的中点,∴=
2.∴k=
4.∴y2=4x.答案y2=4x9.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M,0的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比等于________.解析由|BF|=2小于点M到准线的距离+知点B在A、C之间,由抛物线的定义知点B的横坐标为,代入得y2=2x,则B,-另一种可能是,,那么此时直线AC的方程为=,即y=,把y=代入y2=2x,可得2x2-7x+6=0,可得x=2,则有y=2,即A22,那么S△BCF∶S△ACF=BC∶AC=+∶2+=4∶
5.答案4∶5
三、解答题共40分10.10分直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.解∵抛物线y2=4x的焦点坐标为10,若l与x轴垂直,则|AB|=4,不符合题意,∴可设所求直线l的方程为y=kx-1.由得k2x2-2k2+4x+k2=0,则由根与系数的关系,得x1+x2=.又AB过焦点,由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=+2=8,∴=6,解得k=±
1.∴所求直线l的方程为y+x-1=0或x-y-1=
0.11.15分图1如图1所示,O为坐标原点,过点P20,且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于Mx1,y1,Nx2,y2两点.1写出直线l的方程;2求x1x2与y1y2的值;3求证OM⊥ON.解1直线l的方程为y=kx-2k≠0.
①2由
①及y2=2x,消去y可得k2x2-22k2+1x+4k2=
0.
②点M,N的横坐标x1与x2是
②的两个根,由韦达定理,得x1x2==
4.由y=2x1,y=2x2,得y1y22=4x1x2=4×4=16,由图可知y1y20,所以y1y2=-
4.3证明设OM,ON的斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=.由2知,y1y2=-4,x1x2=4,∴k1k2==-
1.∴OM⊥ON.12.15分xx·湖北高考已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F10的距离减去它到y轴距离的差都是
1.1求曲线C的方程;2是否存在正数m,对于过点Mm0且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,都有·0若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解1由已知得曲线C上的点到点F10与到x=-1的距离相等,∴曲线C是以F10为焦点的抛物线,设y2=2pxp0,∵=1,∴p=2,∴方程为y2=4xx0.2假设存在Mm0m0.当直线l斜率不存在时,l x=m,设交点Am2,Bm,-2,=m-12,=m-1,-2,∴·=m2-6m+10,∴3-2m3+
2.当直线l斜率存在时,l y=kx-mk≠0,设Ax1,y1,Bx2,y2,∴ky2-4y-4km=0,∴Δ=16+16k2m0恒成立,y1+y2=,y1y2=-4m,又y+y=y1+y22-2y1y2=+8m,∵·=-1·-1+y1y2=-y+y+y1y2+12=m2-+8m-4m+12=m2-6m+1-0,即m2-6m+1对∀k≠0恒成立,又0,∴m2-6m+10恒成立,∴3-2m3+2,综上,m的取值范围是3-2m3+
2.。