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文本内容:
2019年高中数学
2.
2.2反证法时作业新人教A版选修2-2
一、选择题每小题3分,共18分
1.xx·合肥高二检测用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是 A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.
2.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则 A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a,b,c均小于,则a+2b+c+1+=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于.
3.xx·唐山高二检测1已知p3+q3=2,求证p+q≤
2.用反证法证明时,可假设p+q≥
2.2已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于
1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是 A.1与2的假设都错误B.1与2的假设都正确C.1的假设正确,2的假设错误D.1的假设错误,2的假设正确【解析】选D.1错,应假设为p+q
2.2假设正确.故选D.
4.xx·杭州高二检测设a,b,c大于0,则3个数a+,b+,c+的值 A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】因为三个数的和不小于6,可以判断三个数至少有一个不小于2,所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+,b+,c+都小于2,即a+2,b+2,c+2,所以++6,又a0,b0,c0,所以++=++≥2+2+2=
6.这与假设矛盾,所以假设不成立.【变式训练】已知x10,且x1≠1,且xn+1=n=1,2,3….试证数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意正整数n都满足xnxn+
1.当此题用反证法否定结论时,应为 A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1B.存在正整数n,使得xn=xn+1C.存在正整数n,使xn≥xn-1且xn≥xn+1D.存在正整数n,使得xn-xn-1xn-xn+1≥0【解析】选B.对于数列中的连续两项来说,要么不相等,要么相等.
5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的 A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然,充分性若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中两个为负,不妨设P0,Q0,R0,因为P0,Q0,即a+bc,b+ca,所以a+b+b+cc+a,即b0,这与b0矛盾,所以P,Q,R同时大于零,故选C.
6.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD点D在BC上,则∠ADB+∠ADC=π,若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC∠BAD,∠ADC∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.
二、填空题每小题4分,共12分
7.xx·南昌高二检测命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案没有一个是三角形或四边形或五边形
8.xx·石家庄高二检测设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b=1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b
22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是__________填序号.【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=,b=,则a+b=1,但a1,b1,故
①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故
②不能推出.若a=-2,b=1,则a2+b22,故
④不能推出.对于
③,即a+b2,则a,b中至少有一个大于
1.反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于
1.答案
③
9.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为________.【解析】由反证法证明的步骤知,先反设即
③,再推出矛盾即
①,最后作出判断,肯定结论即
②,即顺序应为
③①②.答案
③①②
三、解答题每小题10分,共20分
10.xx·南阳高二检测已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数.【解题指南】反证法来证明正难则反的运用,先否定结论,假设a,b,c,d都是非负数,然后推出矛盾来得到证明.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以a+bc+d=
1.又a+bc+d=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.【拓展提升】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有1一些基本命题、基本定理.2易导出与已知矛盾的命题.3“否定性”命题.4“唯一性”命题.5“必然性”命题.6“至多”“至少”类命题.7“必然性”命题.8涉及“无限”结论的命题等.
11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知,求证,本题证明时应分两种情况,即点P在平面α内和点P在平面α外.【证明】已知平面α和一点P.求证过点P与平面α垂直的直线只有一条.证明如图所示,不论点P在α内或α外,设PA⊥α,垂足为A或P.假设过点P还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.
一、选择题每小题4分,共16分
1.xx·济宁高二检测用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是 A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.假设结论的反面成立,+不是无理数,则+是有理数.
2.xx·潍坊高二检测否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是 A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.
3.已知直线a,b为异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为 A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.
4.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1a,b是常数,且ab,那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是 A.0B.1C.2D.无穷多个【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,推理得出矛盾.【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,则有an+2=bn+1,得到a-bn=-1,这样的n是不存在的,故假设不成立.
二、填空题每小题5分,共10分
5.xx·郑州高二检测若下列两个方程x2+a-1x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是__________.【解析】假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-2a-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案{a|a≤-2或a≥-1}
6.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证乘积p=a1-1a2-2…a7-7为偶数.证明假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=__________=__________=
0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数,把a1-1,a2-2,…,a7-7相加,利用a1+a2+…+a7=1+2+…+7可推出矛盾.【解析】据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以a1-1+a2-2+…+a7-7也为奇数.即a1+a2+…+a7-1+2+…+7为奇数.又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为
0.所以奇数=a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=
0.答案a1-1+a2-2+…+a7-7a1+a2+…+a7-1+2+…+7
三、解答题每小题12分,共24分
7.xx·临沂高二检测已知a,b,c∈0,
1.求证1-ab,1-bc,1-ca不能都大于.【证明】假设1-ab,1-bc,1-ca都大于.因为0a1,0b1,所以1-a
0.由基本不等式,得≥=.同理,,.将这三个不等式两边分别相加,得++++,即,这是不成立的,故1-ab,1-bc,1-ca不能都大于.
8.xx·温州高二检测设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.【解题指南】假设数列{cn}是等比数列,利用{an},{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.【证明】假设数列{cn}是等比数列,则an+bn2=an-1+bn-1an+1+bn+
1.
①因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=an-1an+1,=bn-1bn+
1.代入
①并整理,得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn,即2=+
②.当p,q异号时,+0,与
②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+2,与
②相矛盾.故数列{cn}不是等比数列.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有1一些基本命题、基本定理.2易导出与已知矛盾的命题.3“否定性”命题.4“唯一性”命题.5“必然性”命题.6“至多”“至少”类命题.7涉及“无限”结论的命题等.【变式训练】已知fx=x2+px+q.求证1f1+f3-2f2=
2.2|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于.【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.【证明】1f1+f3-2f2=1+p+q+9+3p+q-24+2p+q=
2.2假设|f1|,|f2|,|f3|都小于,则|f1|+2|f2|+|f3|2,而|f1|+2|f2|+|f3|≥f1+f3-2f2=1+p+q+9+3p+q-8+4p+2q=2,这与|f1|+2|f2|+|f3|2相矛盾,从而假设不成立,原命题成立.。