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2019年高中数学
2.
2.2反证法同步测试新人教A版选修2-2
一、选择题1.xx·微山一中高二期中用反证法证明命题“如果ab0,那么a2b2”时,假设的内容应是 A.a2=b2 B.a2b2C.a2≤b2D.a2b2,且a2=b2[答案] C2.设实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于 A.0 B. C. D.1[答案] B[解析] 三个数a、b、c的和为1,其平均数为,故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于,则a+b+c1,与已知矛盾.3.xx·浙江余姚中学高二期中用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理根,那么a、b、c中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是 A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个是偶数[答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”.4.实数a、b、c不全为0等价于 A.a、b、c均不为0B.a、b、c中至多有一个为0C.a、b、c中至少有一个为0D.a、b、c中至少有一个不为0[答案] D[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0,其否定应为“全为0”.[点评] 要与“a、b、c全不为0”加以区别,“a、b、c全不为0”是指a、b、c中没有一个为0,其否定应为“a、b、c中至少有一个为0”.5.xx·大庆实验中学高二期中设a、b、c∈-∞,0,则a+,b+,c+ A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2[答案] C[解析] 假设都大于-2,则a++b++c+-6,但a++b++c+=a++b++c+≤-2+-2+-2=-6,矛盾.6.若m、n∈N*,则“ab”是“am+n+bm+nanbm+ambn”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] D[解析] am+n+bm+n-anbm-ambn=anam-bm+bnbm-am=am-bman-bn0⇔或,不难看出ab⇒/am+n+bm+nambn+anbm,am+n+bm+nambn+bman⇒/ab.
二、填空题7.“x=0且y=0”的否定形式为________.[答案] x≠0或y≠0[解析] “p且q”的否定形式为“¬p或¬q”.8.和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________.[答案] 异面[解析] 假设AC与BD共面于平面α,则A,C,B,D都在平面α内,∴AB⊂α,CD⊂α,这与AB,CD异面相矛盾,故AC与BD异面.9.在空间中有下列命题
①空间四点中有三点共线,则这四点必共面;
②空间四点,其中任何三点不共线,则这四点不共面;
③垂直于同一直线的两直线平行;
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中真命题是________________.[答案]
①[解析] 四点中若有三点共线,则这条直线与另外一点必在同一平面内,故
①真;四点中任何三点不共线,这四点也可以共面,如正方形的四个顶点,故
②假;正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中,一条与另两条都垂直,故
③假;空间四边形ABCD中,可以有AB=CD,AD=BC,例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形,这时它的两组对边仍保持相等,故
④假.
三、解答题10.xx·泰州二中高二期中已知n≥0,试用分析法证明--.[证明] 要证上式成立,需证+2,需证+222,需证n+1,需证n+12n2+2n,需证n2+2n+1n2+2n,只需证10,因为10显然成立,所以原命题成立.
一、选择题11.设a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 若P0,Q0,R0,则必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R
0.因为当PQR0时,若P、Q、R不同时大于零,则P、Q、R中必有两个负数,一个正数,不妨设P0,Q0,R0,即a+bc,b+ca,两式相加得b0,这与已知b∈R+矛盾,因此必有P0,Q0,R
0.12.若x、y0且x+y2,则和的值满足 A.和中至少有一个小于2B.和都小于2C.和都大于2D.不确定[答案] A[解析] 假设≥2和≥2同时成立.因为x0,y0,∴1+x≥2y且1+y≥2x,两式相加得1+x+1+y≥2x+y,即x+y≤2,这与x+y2相矛盾,因此和中至少有一个小于
2.13.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为 A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
二、填空题14.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为________.[答案]
③①②[解析] 由反证法证明的步骤知,先反设即
③,再推出矛盾即
①,最后作出判断,肯定结论即
②,即顺序应为
③①②.
三、解答题15.求证
1、、2不能为同一等差数列的三项.[证明] 假设
1、、2是某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=-md2=+nd,其中m,n为两个正整数,由上面两式消去d,得n+2m=n+m.因为n+2m为有理数,而n+m为无理数,所以n+2m≠n+m,矛盾,因此假设不成立,即1,,2不能为同一等差数列的三项.
16.如图所示,在△ABC中,ABAC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上.[证明] 假设点M在线段CD上,则BDBM=CMCD,且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2,所以AB2=BD2+AD2BM2+AD2CD2+AD2=AC2,即AB2AC2,所以ABAC.这与ABAC矛盾,故假设错误.所以点M不在线段CD上.17.已知函数fx是-∞,+∞上的增函数,a、b∈R.1若a+b≥0,求证fa+fb≥f-a+f-b;2判断1中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.[解析] 1证明∵a+b≥0,∴a≥-b.∵fx在R上单调递增,∴fa≥f-b.同理,a+b≥0⇒b≥-a⇒fb≥f-a.两式相加即得fa+fb≥f-a+f-b.2逆命题fa+fb≥f-a+f-b⇒a+b≥
0.下面用反证法证之.假设a+b0,那么⇒fa+fbf-a+f-b.这与已知矛盾,故只有a+b≥
0.逆命题得证.。