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2019年高中数学
2.3第2课时抛物线的简单几何性质练习新人教A版选修1-1
一、选择题1.已知P8,a在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为 A.2B.4C.8D.16[答案] B[解析] 根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.2.已知抛物线y2=2pxp0的准线与圆x-32+y2=16相切,则p的值为 A.B.1C.2D.4[答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程,直线与圆的位置关系.抛物线y2=2pxp0的准线方程是x=-,由题意知,3+=4,p=
2.3.设抛物线y2=8x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为4,则|PF|等于 A.8 B.6 C.4 D.2[答案] B[解析] 抛物线准线l x=-2,P到l距离d=4--2=6,∴|PF|=
6.4.双曲线-=1mn≠0离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为 A.B.C.D.[答案] A[解析] 由条件知,解得.∴mn=,故选A.5.xx·天津理,5已知双曲线-=1a0,b0的两条渐近线与抛物线y2=2pxp0的准线分别交于A、B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= A.1B.C.2D.3[答案] C[解析] 本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积.∵=2,∴b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A-,,B-,-,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又p0,∴p=
2.6.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|,则有 A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=|AB|C.|PP1||AB|D.|PP1||AB|[答案] B[解析] 如图,由题意可知|PP1|=,根据抛物线的定义,得|AA1|=|AF|,|BB1|=|BC|,∴|PP1|==|AB|.
二、填空题7.xx·长春市调研已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,设|FA||FB|,则=________.[答案] 3+2[解析] 抛物线y2=4x的焦点F10,过F斜率为1的直线方程为y=x-1,设Ax1,y1,Bx2,y2,由消去y得x2-6x+1=0,求得x1=3+2,x2=3-2,故由抛物线的定义可得==3+
2.8.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A20,则抛物线的准线方程为________.[答案] x=-2[解析] 由抛物线的几何性质从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行,及直线y=-2平行于抛物线的轴知A20为焦点,故准线方程为x=-
2.9.若抛物线y2=-2pxp0上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.[答案] -9,-6或-96[解析] 由抛物线方程y2=-2pxp0,得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即--9=10,∴p=2,故抛物线方程为y2=-4x.将M-9,y代入抛物线方程,得y=±6,∴M-96或M-9,-6.
三、解答题10.一抛物线拱桥跨度为52m,拱顶离水面
6.5m,一竹排上载有一宽4m,高6m的大木箱,问竹排能否安全通过?[解析] 如图所示建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py,则有A26,-
6.5,设B2,y,由262=-2p×-
6.5得p=52,∴抛物线方程为x2=-104y.当x=2时,4=-104y,y=-,∵
6.5-6,∴能安全通过.
一、选择题11.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若AB中点的横坐标为2,则k= A.2或-2B.-1C.2D.3[答案] C[解析] 由,得k2x2-4k+2x+4=0,则=4,即k=
2.12.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点,则·的值是 A.12B.-12C.3D.-3[答案] D[解析] 设A,y1,B,y2,则=,y1,=,y2,则·=,y1·,y2=+y1y2,又∵AB过焦点,则有y1y2=-p2=-4,∴·=+y1y2=-4=-3,故选D.13.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A
1、B1,则∠A1FB1等于 A.45°B.60°C.90°D.120°[答案] C[解析] 由抛物线的定义得,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A1AF+∠B1BF=360°,且∠A1AF+∠B1BF=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+∠4=180°,即∠2+∠4=90,故∠A1FB1=90°.14.xx·四川文,9已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M2,y0.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= A.2B.2C.4D.2[答案] B[解析] 由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M2,y0在此抛物线上,所以y=8,于是|OM|==
2.故选B.
二、填空题15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是这条抛物线上的一个动点,P31是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值是________.[答案] 4[解析] 过P作垂直于准线的直线,垂足为N,交抛物线于M,则|MP|+|MF|=|MP|+|MN|=|PN|=4为所求最小值.16.P为抛物线y=x2上一动点,直线l y=x-1,则点P到直线l距离的最小值为________.[答案] [解析] 设Px0,x为抛物线上的点,则P到直线y=x-1的距离d===.∴当x0=时,dmin=.
三、解答题17.求证以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.[解析] 如图,作AA′⊥l于A′,BB′⊥l于B′,M为AB的中心,作MM′⊥l于M′,则由抛物线定义可知|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,在直角梯形BB′A′A中,|MM′|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|=|AB|,即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径.故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切.18.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.1若|AF|=4,求点A的坐标;2求线段AB长度的最小值.[解析] 由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F10.设Ax1,y1,Bx2,y2.1由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,从而x1=4-1=
3.代入y2=4x,解得y1=±
2.∴点A的坐标为32或3,-2.2当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-1.与抛物线方程联立,得消去y整理得,k2x2-2k2+4x+k2=
0.∵直线与抛物线相交于A、B两点,则k≠0,并设其两根为x
1、x2,∴x1+x2=2+.由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+
4.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A12,B1,-2,此时|AB|=4,∴|AB|≥4,即线段AB长度的最小值为
4.。