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2019年高中数学
2.
3.2向量数量积的运算律基础巩固新人教B版必修4
一、选择题1.若|a|=3,|b|=,且a与b的夹角为,则|a+b|= A.3B.C.21D.[答案] D[解析] ∵|a|=3,|b|=,a与b的夹角为,∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=9+2×3××cos+3=9+2×3××+3=21,∴|a+b|=.2.xx·安徽宿州朱仙庄煤矿中学高一月考向量a、b满足|a|=1,|b|=,a+b⊥2a-b,则向量a与b的夹角为 A.45°B.60°C.90°D.120°[答案] C[解析] ∵a+b⊥2a-b,∴a+b·2a-b=0,∴2a2+a·b-b2=
0.∴2×1+1××cos〈a,b〉-2=0,∴cos〈a,b〉=0,∴〈a,b〉=90°.3.设a、b、c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于 A.1B.2C.4D.5[答案] D[解析] ∵a+b+c=0,∴c=-a-b,∴c2=|c|2=a+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5,故选D.4.已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b[答案] B[解析] 本题考查向量的运算.由题意知|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b-b2,∴a·b=0,∴a⊥b.注意|a+b|2=a+b2=a2+2a·b+b
2.5.下列各式中正确命题的个数为
①λa·b=λa·b=a·λb,λ∈R;
②|a·b|=|a|·|b|;
③a+b·c=a·c+b·c;
④a·b·c=a·b·c.A.1B.2C.3D.4[答案] B[解析]
①、
③正确,
②、
④错误.6.已知非零向量a、b满足|a+b|=|a-b||a|,则a+b与a-b的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°[答案] B[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方得,a·b=0,将|a-b|=|a|两边平方得,|b|2=|a|2,∴cos〈a+b,a-b〉===,∴〈a+b,a-b〉=60°.
二、填空题7.已知单位向量e
1、e2的夹角为60°,则|2e1-e2|=________.[答案] [解析] ∵|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=60°,∴e1·e2=|e1||e2|·cos60°=.∴|2e1-e2|====.8.已知两个单位向量e
1、e2的夹角为120°,且向量a=e1+2e2,b=4e1,则a·b=________.[答案] 0[解析] ∵|e1|=|e2|=1,向量e1与e2的夹角为120°,∴a·b=e1+2e2·4e1=4e+8e1·e2=4+8×1×1×cos120°=4+8×1×1×-=
0.
三、解答题9.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=2a-3b,d=ma+b,若c⊥d,求实数m的值.[解析] a·b=|a||b|cos60°=
1.因为c⊥d,所以c·d=0,即2a-3b·ma+b=2ma2+2-3ma·b-3b2=2m-12+2-3m=0,解得m=-
10.
一、选择题1.若O为△ABC所在平面内一点,且满足-·+-2=0,则△ABC的形状为 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.以上都不对[答案] C[解析] 由-·+-2=0得·+=0又∵=-,∴-·+=0即||2-||2=0∴||=||,∴△ABC为等腰三角形.2.已知|a|=1,|b|=,且a⊥a-b,则a与b的夹角是 A.30°B.45°C.90°D.135°[答案] B[解析] ∵a·a-b=0,∴a2=a·b,∴cosa,b===,∴a,b=45°.3.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a·b+b·c+c·a的值为 A.7B.C.-7D.-[答案] D[解析] ∵a+b+c2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2a·c=1+4+2+2a·b+b·c+c·a=0,∴a·b+b·c+c·a=-.4.已知|a|=|b|=1,a⊥b,2a+3b⊥ka-4b,则k等于 A.-6B.6C.3D.-3[答案] B[解析] 2a+3b·ka-4b=0,2k|a|2-8a·b+3ka·b-12|b|2=
0.∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴2k-12=0,k=
6.
二、填空题5.已知点O是△ABC内的一点,且·=·=·,则点O是△ABC的________.填外心、内心、重直、重心[答案] 垂心[解析] ∵·=·,∴·-=0,即·=0,∴⊥.同理·=0,·=0,∴O为△ABC的垂心.6.关于平面向量a、b、c,有下列三个命题
①若a·b=a·c,则b=c.
②若a=1,k,b=-26,a∥b,则k=-
3.
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________.写出所有真命题的序号[答案]
②[解析]
①a·b=a·c时,a·b-c=0,∴a⊥b-c不一定有b=c,∴
①错.
②a=1,k,b=-26,由a∥b知,1×6--2k=0,∴k=-3,故
②对.也可以由a∥b,∴存在实数λ,使a=λb,即1,k=λ-26=-2λ,6λ,∴,∴k=-
3.
③非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则三向量a、b、a-b构成正三角形如图.由向量加法的平行四边形法则知,a+b平分∠BAC,∴a+b与a夹角为30°,
③错.
三、解答题7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=a+2b,d=ma-6bm∈R.1当m为何值时,c与d垂直?2若c∥d,求|c+d|.[解析] 1∵c⊥b,∴c·d=0,∴a+2b·ma-6b=ma2+2ma·b-6a·b-12b2=9m+2m×3×2×cos60°-6×3×2×cos60°-12×4=15m-66=0,∴m=∴当m=时,c与d垂直.2∵c∥d,∴存在惟一实数λ使得c=λd,即a+2b=λma-6b,∴,解得.∴d=-3a-6b,∴c+d=-2a-4b,∴|c+d|2=|-2a-4b|2=|2a+4b|2=4a2+16a·b+16b2=4×9+16×3×2×cos60°+16×4=148,∴|c+d|=
2.8.已知|a|=1,|b|=.1若a∥b,求a·b;2若a、b的夹角为60°,求|a+b|;3若a-b与a垂直,求a与b的夹角.[解析] 1当a,b=0°时,a·b=,当a,b=180°时,a·b=-.2|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3+,|a+b|=.3由a-b·a=0得a2=a·b,cosa,b==,a,b=45°.9.设e
1、e2是两个互相垂直的单位向量,且a=-2e1+e2,b=e1-λe
2.1若a∥b,求λ的值;2若a⊥b,求λ的值.[解析] 1∵a∥b,∴存在惟一实数k,使得a=kb,∴-2e1+e2=ke1-λe1,即-2e1-e2=ke1-kλe2,∴,解得λ=-.2∵a⊥b,∴a·b=0,∴-2e1+e2·e1-λe2=
0.∴-2e+2λe1·e2-e1·e2+λe=0,∴-2+λ=0,∴λ=
2.。