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文本内容:
2019年高中数学
2.
3.
2.1双曲线的简单几何性质课时作业新人教A版选修2-1
一、选择题每小题3分共18分
1.下列曲线中离心率为的是 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.选项B中a2=4b2=2所以c2=a2+b2=6所以a=2c=故e==.【变式训练】已知双曲线-=1的右焦点为30则该双曲线的离心率等于 A.B.C.D.【解析】选C.由a2+5=32得a=2所以e==.
2.xx·兰州高二检测已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0则该双曲线的离心率为 A.5或B.或C.或D.5或【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0所以=-或=-所以e==或.【变式训练】xx·白山高二检测设双曲线-=1a0的渐近线方程为3x±2y=0则该双曲线的离心率为 .【解析】因为双曲线的焦点在x轴上且渐近线方程为3x±2y=0所以=所以该双曲线的离心率e==.答案:
3.xx·温州高二检测双曲线x2-y2=1的渐近线方程是 A.x=±1B.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.由双曲线x2-y2=1得a2=1b2=1即a=1b=1所以渐近线方程为y=±x=±x.
4.xx·太原高二检测已知双曲线的离心率为2焦点是-4040则双曲线方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设双曲线的标准方程为-=1a0b0由所以a=2又b2=c2-a2=12所以双曲线的标准方程为-=
1.
5.xx·湖北高考已知0θ则双曲线C1:-=1与C2:-=1的 A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.【解析】选D.c1=c2=
1.【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为:C1:-=1C2:-=1则结论如何【解析】选C.对于双曲线C1有a=cosθb=sinθ所以c2=cos2θ+sin2θ=1e==.对于双曲线C2有a=sinθb=sinθtanθ所以c2=sin2θ1+tan2θ=sin2θ=e===.即e1=e2=故两双曲线离心率相等.
6.xx·孝感高二检测设F1F2是双曲线x2-=1的左、右两个焦点若双曲线右支上存在一点P使PF1⊥PF2且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为 A.2B.C.3D.【解析】选A.因为PF1⊥PF2所以|PF1|2+|PF2|2=20又|PF1|-|PF2|=2所以|PF1|=4|PF2|=2所以|PF1|=2|PF2|故选A.
二、填空题每小题4分共12分
7.xx·广州高二检测若双曲线-=1b0的焦点为F1-50F250则双曲线的渐近线方程为 ________________________.【解析】由双曲线-=1b0的焦点为F1-50F250所以9+b2=52得b=4又a=3所以双曲线方程为-=1故渐近线方程为4x±3y=
0.答案:4x±3y=
08.xx·南昌高二检测设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点圆心在双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是 .【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限若圆过右焦点和左顶点则这样的圆不存在故圆只能过右顶点A220右焦点F240则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲线的交点将x=3代入双曲线方程得P
3.故|OP|==
2.答案:
29.xx·重庆高二检测设F1F2分别为双曲线-=1a0b0的左、右焦点若在双曲线的右支上存在一点P满足:
①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;
②直线PF1与圆x2+y2=a2相切则此双曲线的离心率为 .【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a|PF2|=|F1F2|=2c所以|PF1|=2a+2c作F2M⊥PF1于M则|MP|=|PF1|=a+c所以|MF2|===又设圆x2+y2=a2与直线PF1切于T则|OT|=a由|OT|=|F2M|得:a=即3c2-2a2-2ac=0同除以a2得3e2-2e-2=0e1解得e=.答案:
三、解答题每小题10分共20分
10.xx·大庆高二检测已知双曲线-=1a0b0和椭圆+=1有相同的焦点且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍求双曲线的方程.【解析】由椭圆+=1得a′2=16b′2=9c′2=a′2-b′2=7所以a′=4c′=故椭圆离心率为e1==.因为双曲线与椭圆+=1有相同焦点且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍所以双曲线的两焦点为F1-0F20离心率e2==所以a=2b2=c2-a2=7-4=
3.所以双曲线的方程为-=
1.
11.焦点在x轴上的双曲线它的两条渐近线的夹角为焦距为12求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为-=1a0b0所以两条渐近线为y=±x.因为两条渐近线的夹角为故分两种情况即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时所以=tan=所以=即a2=3b
2.又2c=12所以c=
6.由c2=a2+b2得b2=9a2=
27.所以双曲线方程为-=1e===.当y=x的倾斜角为时所以=tan=所以b2=3a
2.又2c=12所以c=
6.由c2=a2+b2得a2=9b2=
27.所以双曲线方程为-=1e===
2.30分钟 50分
一、选择题每小题4分共16分
1.xx·福建高考双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于 A. B. C. D.【解析】选C.双曲线的右顶点为20渐近线方程为x-2y=0则顶点到渐近线的距离为=.【变式训练】xx·福建高考双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 A.B.C.1D.【解题指南】先求顶点后求渐近线方程再用距离公式.【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.
2.xx·北京高考双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是 A.mB.m≥1C.m1D.m2【解题指南】找出a2b2c2表示出离心率再解出m.【解析】选C.a2=1b2=mc2=1+me==所以m
1.
3.xx·唐山高二检测设F1F2分别是双曲线-=1a0b0的左、右焦点若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=则双曲线的渐近线方程为 A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.3x±5y=0D.5x±4y=0【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|结合双曲线的定义可得出|PF1|=2a+2c再由cos∠PF1F2=找出的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q因为|F1F2|=|PF2|所以Q为PF1的中点由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a所以|PF1|=2a+2c故|F1Q|=a+c因为cos∠PF1F2=所以=cos∠PF1F2即=得3c=5a所以3=5a得=故双曲线的渐近线方程为y=±x即4x±3y=
0.
4.xx·青岛高二检测已知F1F2分别是双曲线C:-=1a0b0的左、右焦点P为双曲线右支上的一点⊥且||=||则双曲线的离心率为 A.B.1+C.2D.1+【解题指南】由于|PF1|=|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点则可根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1||PF2|的值然后再根据F1F2⊥PF2推出|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于ac的关系式从而可求出离心率e.【解析】选B.因为|PF1|=|PF2||PF1|-|PF2|=2a所以|PF1|=2a2+|PF2|=2a1+因为F1F2⊥PF2|F1F2|=2c所以|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2所以c2=3+2a2所以e==1+.【变式训练】xx·陕西高考双曲线-=1的离心率为 .【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=得解.【解析】由=得e2==所以e=.答案:
二、填空题每小题5分共10分
5.xx·哈尔滨高二检测双曲线的离心率为2则双曲线的两条渐近线所成的锐角是 .【解析】由e==2所以=2即=所以tanθ=其中θ为一条渐近线的倾斜角.所以θ=60°因此两条渐近线所成的锐角为60°.答案:60°
6.xx·重庆高考改编设F1F2分别为双曲线-=1a0b0的左、右焦点双曲线上存在一点P使得=b2-3ab则该双曲线的离心率为 .【解析】由双曲线的定义知=4a2又=b2-3ab所以4a2=b2-3ab等号两边同除a2化简得-3·-4=0解得=4或=-1舍去故离心率e=====.答案:
三、解答题每小题12分共24分
7.已知双曲线关于两坐标轴对称且与圆x2+y2=10相交于点P3-1若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行求此双曲线的方程.【解析】切点为P3-1的圆的切线方程为3x-y=10因为双曲线的一条渐近线平行于此切线且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x±y=
0.当焦点在x轴上时设双曲线方程为-=1a0b0则其渐近线方程为y=±x即=3则双曲线方程可化为-=1因为双曲线过点P3-1所以-=1所以a2=b2=80所以所求双曲线方程为-=
1.当焦点在y轴上时设双曲线方程为-=1a0b0则渐近线方程为y=±x即=3则双曲线方程可化为-=1因为双曲线过点P3-1所以-=1得-=1无解.综上可知所求双曲线方程为-=
1.【一题多解】切点为P3-1的圆的切线方程为3x-y=
10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0设所求的双曲线方程为9x2-y2=λλ≠0因为点P3-1在所求双曲线上所以λ=
80.所以所求双曲线方程为-=
1.
8.设F1F2分别为双曲线-=1的左、右焦点A1A2分别为这个双曲线的左、右顶点P为双曲线右支上的任意一点求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设NM分别是PF1PF2的中点只要证明|OM|=a+|PF2|并且|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上F1F2是双曲线的两个焦点满足了运用定义的条件特征故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图以A1A2为直径的圆的圆心为O半径为a令MN分别是PF2PF1的中点由三角形中位线的性质得|OM|=|PF1|.又根据双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|从而有|OM|=2a+|PF2|=a+|PF2|.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之和故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理得|ON|=|PF2|=|PF1|-2a=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.。