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2019年高中数学
2.
4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时作业新人教A版必修4课时目标
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握向量数量积的运算律.1.平面向量数量积1定义已知两个非零向量a与b,我们把数量______________叫做a与b的数量积或内积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a与b的夹角.2规定零向量与任一向量的数量积为____.3投影设两个非零向量a、b的夹角为θ,则向量a在b方向的投影是____________,向量b在a方向上的投影是______________.2.数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积.3.向量数量积的运算律1a·b=________交换律;2λa·b=________=________结合律;3a+b·c=______________________分配律.
一、选择题1.|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影等于 A.-3B.-2C.2D.-12.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于 A.B.-C.±D.13.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于 A.0B.2C.4D.84.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a等于 A.-B.0C.D.35.若非零向量a,b满足|a|=|b|,2a+b·b=0,则a与b的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°6.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,a+2b·a-3b=-72,则向量a的模为 A.2B.4C.6D.12题 号123456答 案
二、填空题7.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·2a+b的值为________.8.给出下列结论
①若a≠0,a·b=0,则b=0;
②若a·b=b·c,则a=c;
③a·bc=ab·c;
④a·[ba·c-ca·b]=
0.其中正确结论的序号是________.9.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________.10.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·a-b=0,则|b|的取值范围是________.
三、解答题11.已知|a|=4,|b|=3,当1a∥b;2a⊥b;3a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.12.已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.能力提升13.已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120°,计算向量2a-b在向量a+b方向上的投影.14.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正当a≠0,b≠00°≤θ90°时,也可以为负当a≠0,b≠090°θ≤180°时,还可以为0当a=0或b=0或θ=90°时.2.数量积对结合律一般不成立,因为a·b·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c是一个与c共线的向量,而a·c·b=|a|·|c|cos〈a,c〉·b是一个与b共线的向量,两者一般不同.3.向量b在a上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于θ角,注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分.§
2.4 平面向量的数量积2.
4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1.1|a||b|cosθ 20 3|a|cosθ |b|cosθ2.|b|cosθ
3.1b·a 2λa·b a·λb 3a·c+b·c作业设计1.D [a在b方向上的投影是|a|cosθ=2×cos120°=-
1.]2.A [∵3a+2b·λa-b=3λa2+2λ-3a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=
0.∴λ=.]3.B [|2a-b|2=2a-b2=4|a|2-4a·b+|b|2=4×1-4×0+4=8,∴|2a-b|=
2.]4.A [a·b=·=-·=-||||cos60°=-.同理b·c=-,c·a=-,∴a·b+b·c+c·a=-.]5.C [由2a+b·b=0,得2a·b+b2=0,设a与b的夹角为θ,∴2|a||b|cosθ+|b|2=
0.∴cosθ=-=-=-,∴θ=120°.]6.C [∵a·b=|a|·|b|·cos60°=2|a|,∴a+2b·a-3b=|a|2-6|b|2-a·b=|a|2-2|a|-96=-
72.∴|a|=
6.]7.0解析 b·2a+b=2a·b+|b|2=2×4×4×cos120°+42=
0.8.
④解析 因为两个非零向量a、b垂直时,a·b=0,故
①不正确;当a=0,b⊥c时,a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故
②不正确;向量a·bc与c共线,ab·c与a共线,故
③不正确;
④正确,a·[ba·c-ca·b]=a·ba·c-a·ca·b=
0.9.120°解析 ∵a+b=c,∴|c|2=|a+b|2=a2+2a·b+b
2.又|a|=|b|=|c|,∴2a·b=-b2,即2|a||b|cos〈a,b〉=-|b|
2.∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=120°.10.
[01]解析 b·a-b=a·b-|b|2=|a||b|cosθ-|b|2=0,∴|b|=|a|cosθ=cosθθ为a与b的夹角,θ∈[0,π],∴0≤|b|≤
1.11.解 1当a∥b时,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,∴a·b=|a||b|cosθ=4×3×cos0°=
12.若a与b反向,则a与b的夹角为θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=4×3×-1=-
12.2当a⊥b时,向量a与b的夹角为90°,∴a·b=|a||b|cos90°=4×3×0=
0.3当a与b的夹角为60°时,∴a·b=|a||b|cos60°=4×3×=
6.12.解 a·b=|a||b|cosθ=5×5×=.|a+b|====
5.|a-b|====
5.13.解 2a-b·a+b=2a2+2a·b-a·b-b2=2a2+a·b-b2=2×12+1×1×cos120°-12=.|a+b|====
1.∴|2a-b|cos〈2a-b,a+b〉=|2a-b|·==.∴向量2a-b在向量a+b方向上的投影为.14.解 ∵|n|=|m|=1且m与n夹角是60°,∴m·n=|m||n|cos60°=1×1×=.|a|=|2m+n|====,|b|=|2n-3m|====,a·b=2m+n·2n-3m=m·n-6m2+2n2=-6×1+2×1=-.设a与b的夹角为θ,则cosθ===-.又θ∈[0,π],∴θ=,故a与b的夹角为.。