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2019年高中数学
2.4正态分布同步测试新人教A版选修2-3
一、选择题1.xx·河南安阳中学高二期中已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2,则Pξ3等于 A. B. C. D.[答案] D[解析] ∵ξ~N3,σ2,∴ξ=3为正态分布的对称轴,∴Pξ3=.2.xx·吉林白山一中高二期末设随机变量ξ服从正态分布N29,若Pξc+1=Pξc-1,则c= A.1B.2C.3D.4[答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件Pξc+1=Pξc-1得,c+1+c-1=2×2,∴c=
2.3.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N11052,据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内 A.90110]B.95125]C.100120]D.105115][答案] C[解析] 由于X~N11052,∴μ=110,σ=
5.因此考试成绩在区间105115],100120],95125]上的概率分别应是
0.
68260.
95440.
9974.由于一共有60人参加考试,∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×
0.6826≈41人,60×
0.9544≈57人,60×
0.9974≈60人.4.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布Nμ,σ2,在一次正常的试验中,取1000个零件,不属于μ-3σ,μ+3σ这个尺寸范围的零件个数可能为 A.7B.10C.3D.6[答案] C[解析] ∵Pμ-3σ≤ξ≤μ+3σ=
0.9974,∴不属于区间μ-3σ,μ-3σ内的零点个数约为1000×1-
0.9974=
2.6≈3个.5.xx·哈师大附中高二期中已知随机变量ξ服从正态分布N14,则P-3ξ5= 参考数据Pμ-σξμ+σ=
0.6826,Pμ-2σξμ+2σ=
0.9544,Pμ-3σξμ+3σ=
0.9974A.
0.6826B.
0.9544C.
0.0026D.
0.9974[答案] B[解析] 由ξ~N14知,μ=1,σ=2,∴μ-2σ=-3,μ+2σ=5,∴P-3ξ5=Pμ-2σξμ+2σ=
0.9544,故选B.6.以Φx表示标准正态总体在区间-∞,x内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2,则概率P|ξ-μ|σ等于 A.Φμ+σ-Φμ-σB.Φ1-Φ-1C.ΦD.2Φμ+σ[答案] B[解析] 设η=,则P|ξ-μ|σ=P|η|1=P-1η1=Φ1-Φ-1.[点评] 一般正态分布Nμ,σ2可向标准正态分布N01转化.
二、填空题7.正态变量的概率密度函数fx=e-,x∈R的图象关于直线________对称,fx的最大值为________.[答案] x=3 8.已知正态总体的数据落在区间-3,-1里的概率和落在区间35里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为________.[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间-3,-1和区间35的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.∵区间-3,-1和区间35关于直线x=1对称,所以正态分布的数学期望是
1.9.xx·景德镇市高二期末已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2,且Pξ4=
0.8,则P0ξ2等于________.[答案]
0.3[解析] ∵ξ~N2,σ2,∴Pξ≥4=1-Pξ4=
0.
2.∴P0ξ2=P0ξ4=×[1-2Pξ≥4]=×[1-2×
0.2]=
0.
3.
三、解答题10.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于.求该正态分布的概率密度函数的解析式.[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象即正态曲线关于y轴对称,即μ=
0.而正态密度函数的最大值是,所以=,因此σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ,σx=e-,x∈-∞,+∞.
一、选择题11.已知随机变量X~N322,若X=2η+3,则Dη等于 A.0B.1C.2D.4[答案] B[解析] 由X=2η+3,得DX=4Dη,而DX=22=4,∴Dη=
1.12.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 A.10%B.20%C.30%D.40%[答案] D[解析] 由条件知μ=90,Pξ60=
0.1,∴Pξ120=
0.1,∴P90≤ξ120=[1-2Pξ60]=×1-
0.2=
0.4,故选D.[点评] 解决正态分布问题,一定要注意抓住其对称轴,若ξ~Nμ,σ2,则对称轴ξ=μ.13.设两个正态分布Nμ1,σσ10和Nμ2,σσ20的密度函数图象如图所示,则有 A.μ1μ2,σ1σ2B.μ1μ2,σ1σ2C.μ1μ2,σ1σ2D.μ1μ2,σ1σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质对称轴方程x=μ,σ表示总体分布的分散与集中.由图可知选A.
二、填空题14.随机变量ξ~N142,若η=4-3ξ,则Eη=__________________.[答案] 1[解析] 由条件知Eξ=1,Eη=4-3Eξ=
1.15.某厂生产的零件尺寸服从正态分布N
250.032,为使该厂生产的产品有95%以上的合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________.[答案]
24.
9425.06[解析] 正态总体N
250.032在区间25-2×
0.03,25+2×
0.03内取值的概率在95%以上,故该厂生产的零件尺寸允许值范围为
24.
9425.06.
三、解答题16.某个工厂的工人月收入服从正态分布N500202,该工厂共有1200名工人,试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少?[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ,则ξ~N500202,所以μ=500,σ=20,所以月收入在区间500-3×20500+3×20内取值的概率是
0.9974,该区间即440560.因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×1-
0.9974=1200×
0.0026≈3人.17.实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予10分降分资格;考核优秀,授予20分降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.1求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率.2记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.[解析] 1记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件,事件与事件E是对立事件,于是PE=1-P=1-××=.2ξ的所有可能取值为
30、
40、
50、
60.Pξ=30=P=××=,Pξ=40=PA+PB+PC=××+××+××=,Pξ=50=PAB+PAC+PBC=,Pξ=60=PABC=.所以ξ的分布列为ξ30405060PEξ=30×+40×+50×+60×=.。