还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高中数学
3.2第1课时抛物线及其标准方程基础达标北师大版选修2-1
一、选择题1.在平面直角坐标系内,到点11和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线C.圆D.双曲线[答案] A[解析] ∵点11在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点11且与直线x+2y=3垂直的直线.2.抛物线y2=8pxp0,F为焦点,则p表示 A.F到准线的距离B.F到准线距离的C.F到准线距离的D.F到y轴的距离[答案] B[解析] 设y2=2mxm0,则m表示焦点到准线的距离,又2m=8p,∴p=.3.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则P点坐标为 A.B.C.D.[答案] B[解析] 设Px0,y0,则|PF|=x0+=x0+=2,∴x0=,∴y0=±.
二、填空题4.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为________.[答案] -[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2=y,由题意得a0,∴2p=-,∴p=-,∴准线方程为y==-=2,∴a=-.5.过抛物线y2=2pxp0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=________.[答案] 2[解析] 本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识.直线AB y=x-代入抛物线y2=2px,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p,∴3p+p=8,∴p=
2.
三、解答题6.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程.1y2=6x;22y2-5x=
0.[分析] 先根据抛物线的标准方程形式,求出p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程.[解析] 1∵2p=6,∴p=3,开口向右.则焦点坐标是,0,准线方程为x=-.2将2y2-5x=0变形为y2=x.∴2p=,p=,开口向右.∴焦点为,0,准线方程为x=-.[点评] 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,即可写出焦点坐标和准线方程.
一、选择题1.已知点M是抛物线y2=2pxp0上的一点,F为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与y轴的关系是 A.相交B.相切C.相离D.以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE,交直线l于点E,交y轴于点B;由点M作准线l的垂线MD,垂足为D,交y轴于点C,则MD=MF,ON=OF,∴AB====,∴这个圆与y轴相切.2.已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点P1x1,y1,P2x2,y2,P3x3,y3在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有 A.|P1F|+|P2F|=|P3F|B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|[答案] C[解析] 因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,得2x2+=x1++x3+,即2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选C.3.xx·万州市分水中学高二期中O为坐标原点,F为抛物线C y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 A.2B.2C.2D.4[答案] C[解析] 抛物线C的准线方程为x=-,焦点F,0,由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2,∴S△POF=|OF|·|yP|=××2=
2.4.xx·新课标Ⅰ文已知抛物线C y2=x的焦点为F,Ax0,y0是C上一点,|AF|=x0,则x0= A.1 B.2 C.4 D.8[答案] A[解析] 本题考查抛物线的定义及标准方程.由抛物线的定义知|AF|=x0+=x0,∴x0=
1.5.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为 A.48B.56C.64D.72[答案] A[解析] 联立解得A1,-2,B96,则|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8,S梯形==
48.
二、填空题6.设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为Ax1,y1和Bx2,y2,若x1+x2=6,那么|AB|=________.[答案] 8[解析] 设焦点为F,由p=2,利用焦半径公式,得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=
8.7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A20,则抛物线的准线方程为________提示抛物线的光学性质从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行.[答案] x=-2[解析] 由直线y=-2平行于抛物线的轴知A20为焦点,故准线方程为x=-
2.
三、解答题8.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A
1、B1,求∠A1FB
1.[解析] 如图所示,由抛物线的定义得,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A1AF+∠B1BF=360°,且∠A1AF+∠B1BF=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+∠4=180°,即∠2+∠4=90°,故∠A1FB1=90°.
9.如图,是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口直径为12m,镜深2m.1建立适当的坐标系,求抛物线的方程和焦点坐标;2若把盛水和食物的容器近似的看作点,试求每根铁筋的长度.[解析] 1如图,在反光镜的轴截面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点即抛物线的顶点与原点重合,x轴垂直于镜口直径.由已知,得A点坐标是26,设抛物线方程为y2=2pxp0,则36=2p×2,∴p=
9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x.焦点坐标是F,02∵盛水的容器在焦点处,所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|==
6.
5.故每根铁筋的长度是
6.5m.10.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P12,Ax1,y1,Bx2,y2均在抛物线上.1写出该抛物线的方程及其准线方程;2当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.[分析] 根据两直线倾角互补,kPA=-kPB,利用斜率公式求解.[解析] 1由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P12在抛物线上,∴22=2p·1,得p=
2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-
1.2设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.则kPA=x1≠1,kPB=x2≠1.∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.∴=-.∴y1+2=-y2+2.∴y1+y2=-
4.由Ax1,y1,Bx2,y2在抛物线上,得y=4x1,
①y=4x2,
②由
①-
②得直线AB的斜率kAB===-=-1x1≠x2.[点评] 解析几何问题要根据题中信息,结合题目特征,通过设而不求的方法进行解答.。