还剩3页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高中数学
3.2第1课时基础巩固北师大版选修2-2
一、选择题1.质点运动的速度v单位m/s是时间t单位s的函数,且v=vt,则v′1表示 A.t=1s时的速度B.t=1s时的加速度C.t=1s时的位移D.t=1s时的平均速度[答案] B[解析] vt的导数v′t表示t时刻的加速度.2.某汽车启动阶段的路程函数为st=2t3-5t2t表示时间,则t=2时,汽车的加速度是 A.14 B.4 C.10 D.6[答案] A[解析] 速度vt=s′t=6t2-10t.所以加速度at=v′t=12t-10,当t=2时,at=14,即t=2时汽车的加速度为
14.3.下列四个命题
①曲线y=x3在原点处没有切线;
②若函数fx=,则f′0=0;
③加速度是动点位移函数st对时间t的导数;
④函数y=x5的导函数的值恒非负.其中真命题的个数为 A.1B.2C.3D.4[答案] A[解析]
①中y′=3x2,x=0时,y′=0,∴y=x3在原点处的切线为y=0;
②中fx在x=0处导数不存在;
③中st对时间t的导数为瞬时速度;
④中y′=5x4≥
0.所以命题
①②③为假命题,
④为真命题.
二、填空题4.人体血液中药物的质量浓度c=ft单位mg/mL随时间t单位min变化,若f′2=
0.3,则f′2表示________.[答案] 服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟
0.3mg/mL的速度增加.5.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价p单位元与时间t单位年有如下函数关系pt=p01+5%t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是________元/年精确到
0.01.[答案]
0.08[解析] 因为p0=1,所以pt=1+5%t=
1.05t,在第10个年头,这种商品价格上涨的速度,即为函数的导函数在t=10时的函数值.因为p′t=
1.05t′=
1.05t·ln
1.05,所以p′10=
1.0510×ln
1.05≈
0.08元/年.因此,在第10个年头,这种商品的价格约以
0.08元/年的速度上涨.
三、解答题6.某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C元与日产量x件的函数关系式为Cx=x2+60x+
2050.求1日产量75件时的总成本和平均成本;2当日产量由75件提高到90件,总成本的平均改变量;3当日产量为75件时的边际成本.[解析] 1当x=75时,C75=×752+60×75+2050=
7956.25元,∴≈
106.08元/件.故日产量75件时的总成本和平均成本分别为
7956.25元,
106.08元/件.2当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量==
101.25元/件.3当日产量为75件时的边际成本∴C′x=x+60,∴C′75=
97.5元.
一、选择题1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,s的单位是s,t的单位是s,那么物体在3s末的瞬时速度是 A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒[答案] C[解析] s′t=2t-1,∴s′3=2×3-1=
5.2.如果质点A按规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为 A.6B.18C.54D.81[答案] B[解析] 瞬时速度v===36+Δt=
18.3.如图,设有定圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转旋转角度不超过90°时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图像大致是 [答案] D[解析] 由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数,与实际不符;选项B表示最后时段面积的增速较快,也与实际不符;选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符;选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快.符合实际.[点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来,导数的绝对值越大,函数变化越快,函数图像就比较“陡峭”,反之,函数图像就“平缓”一些.4.设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设速度v单位m/s与时间t单位s的函数关系为v=vt=t3+3t,则t=t0s时轿车的加速度为 m/s2A.t+3t0B.3t+3C.3t+3t0D.t+3[答案] B[解析] ∵v′t=3t2+3,则当t=t0s时的速度变化率为v′t0=3t+3m/s2.即t=t0s时轿车的加速度为3t+3m/s
2.[点评] 运动方程s=st的导数表示的是t时刻时的瞬时速度,速度方程v=vt的导数表示的是t时刻时的加速度.5.xx·湖北理设球的半径为时间t的函数Rt.若球的体积以均匀速度C增长,则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为C B.成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为CD.成反比,比例系数为2C[答案] D[解析] 本题主要考查导数的有关应用.根据题意,V=πR3t,S=4πR2t,球的体积增长速度为V′=4πR2t·R′t球的表面积增长速度S′=2·4πRt·R′t,又∵球的体积以均匀速度C增长,∴球的表面积的增长速度与球半径成反比,比例系数为2C.
二、填空题6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过ts后的位移为s=3t2+t,则速度v=10时的时刻t=________.[答案] [解析] s′=6t+1,则vt=6t+1,设6t+1=10,则t=.7.原油是工业的血液,它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从原油提取各种原料需要将原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油温度单位℃为fx=x2-7x+150≤x≤8.计算第6h时,原油温度的瞬时变化率为________,其意义为________________________________________________________________________.[答案] 5 在第6h附近时,原油温度约以5℃/h的速度上升[解析] f′x=2x-7,则f′6=2×6-7=
5.在第6h附近时,原油温度大约以5℃/h的速度上升
三、解答题8.如图所示,为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示其中W1t,W2t分别表示甲、乙两工厂的排污量,试比较哪个工厂的治污效果好?[分析] 取区间[x0,x0+Δx],则由||=||来比较治污效果的好杯.[解析] 观察图形,单位时间内,W1t中||比较大,而W2t中||比较小,工厂甲比工厂乙的平均治污染率大,从而判定工厂甲治污效果更好.[点评] 从“陡峭”的程度上也可形象说明,W1t图形更加“陡峭”,因而当Δt相同时,Δy=ft0+Δt-ft0的值比W2t更大些.9.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里,它的温度会逐渐下降.温度T单位℃与时间t单位min间的关系,由函数T=ft给出.请问1f′t的符号是什么?为什么?2f′3=-4的实际意义是什么?如果f3=65℃,你能画出函数在点t=3min时图像的大致形状吗?[解析] 1f′t是负数.因为f′t表示温度随时间的变化率,而温度是逐渐下降的,所以f′t为负数.2f′3=-4表明在3min附近时,温度约以4℃/min的速度下降,如图所示.10.当销售量为x,总利润为L=Lx时,称L′x为销售量为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时,再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是Cx=100+2x+
0.02x2,Rx=7x+
0.01x
2.求边际利润函数和当日产量分别是200kg250kg和300kg时的边际利润.[解析] 1总利润函数为Lx=Rx-Cx=5x-100-
0.01x2,边际利润函数为L′x=5-
0.02x.2当日产量分别是200kg、250kg和300kg时的边际利润分别是L′200=1元,L′250=0元,L′300=-1元.。