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2019年高中数学
3.
2.3空间向量与空间角课时作业新人教A版选修2-1
一、选择题每小题3分共18分
1.在矩形ABCD中AB=1BC=PA⊥平面ABCDPA=1则PC与平面ABCD所成角是 A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系则P001C10=1-1平面ABCD的一个法向量为n=001所以cosn==-所以n=120°所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
2.xx·重庆高二检测设ABCDABEF都是边长为1的正方形FA⊥平面ABCD则异面直线AC与BF所成的角等于 A.45°B.30°C.90°D.60°【解析】选D.以B为原点BA所在直线为x轴BC所在直线为y轴BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系则A100C010F101所以=-110=
101.所以cos=-.所以=120°.所以AC与BF所成的角为60°.
3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角点EF分别是ADBC的中点O是正方形中心则折起后∠EOF的大小为 A.B.C.D.【解析】选C.=+=+所以·=·+·+·+·=-||
2.又||=||=||所以cos==-.所以∠EOF=.
4.在直角坐标系中已知A23B-2-3沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B使∠AOB=90°则cosθ为 A.-B.C.D.-【解析】选C.过AB分别作x轴垂线垂足分别为A′B′.则AA′=3BB′=3A′B′=4OA=OB=折后∠AOB=90°所以AB==.由=++得||2=||2+||2+||2+2||·||·cosπ-θ.所以26=9+16+9+2×3×3×cosπ-θ所以cosθ=.
5.xx·天津高二检测在正方体ABCD-A1B1C1D1中E是C1C的中点则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为 A.-B.C.-D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则D000B220B1222E
021.所以=-2-20=002=-
201.设平面B1BD的法向量为n=xyz.因为n⊥n⊥所以所以令y=1则n=-
110.所以cosn==设直线BE与平面B1BD所成角为θ则sinθ=|cosn|=.
6.如图平面ABCD⊥平面ABEF四边形ABCD是正方形四边形ABEF是矩形且AF=AD=aG是EF的中点则GB与平面AGC所成角的正弦值为 A.B.C.D.【解析】选C.如图以A为原点建立空间直角坐标系则A000B02a0C02a2aGaa0Fa00=aa0=02a2a=a-a0=002a设平面AGC的法向量为n1=x1y11由⇒⇒⇒n1=1-
11.sinθ===.
二、填空题每小题4分共12分
7.xx·唐山高二检测平面α的一个法向量为10-1平面β的一个法向量为0-11则平面α与平面β所成二面角的大小为 .【解析】设u=10-1v=0-11平面α与平面β所成二面角为θ则cosθ=±|cosuv|=±||=±.所以θ=或.答案:或
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别是A1D1A1C1的中点则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 .【解析】设正方体棱长为2分别取DADCDD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系则A200C020E102F112则=-102=1-12所以||=||=.·=-1+0+4=
3.又·=||||cos=cos所以cos=所以所求角的余弦值为.答案:【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为 .【解析】建立如图所示的空间直角坐标系则A′00aCaa0D0a0E=aa-a=所以cos==.即直线A′C与DE所成角的余弦值为.答案:
9.xx·福州高二检测在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°DEF分别是棱ABBCCP的中点AB=AC=1PA=2则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 .【解析】以A为原点ABACAP所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系由AB=AC=1PA=2得A000B100C010P002DEF所以=002==设平面DEF的法向量n=xyz.则由得取z=1则n=201设PA与平面DEF所成角为θ则sinθ==.答案:【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是 .【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为1则B110C1011A1101D000=-101=-10-1=-1-10设平面A1BD的一个法向量为n=1xy设平面A1BD与BC1所成的角为θn⊥n⊥所以n·=0n·=0所以解得所以n=1-1-1则cosn==-所以sinθ=所以cosθ==.答案:
三、解答题每小题10分共20分
10.xx·临沂高二检测四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形PD⊥底面ABCDAD=PD=2CD=4EF分别为CDPB的中点.1求证:EF⊥平面PAB.2求直线AE与平面PAB所成的角.【解析】1建立如图所示空间直角坐标系Dxyz则E0-20F1-21P002A200B2-40所以=101=0-40=20-2所以·=101·0-40=0·=101·20-2=0所以⊥⊥所以EF⊥ABEF⊥PA因为AB⊂平面PABPA⊂平面PABAB∩PA=A所以EF⊥平面PAB.2=101是平面PAB的一个法向量设直线AE与平面PAB所成的角为θ因为=-2-20所以sinθ===所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别为AA1AB的中点求EF和平面ACC1A1夹角的大小.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为2则由EF分别是AA1AB的中点得E201F
210.过F作FG⊥AC于G则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A
1.连接EG则与的夹角即为所求.又因为F是AB的中点所以AG=AC所以G.==01-1cos==.所以=即EF与平面ACC1A1的夹角为.【一题多解】建系同上=01-1A1202A200C020=00-2=-
220.设平面ACC1A1的法向量为n=xyz则即令x=1则y=1所以n=110cosn===.所以n=则EF与平面ACC1A1的夹角为.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别为棱D1C1B1C1的中点求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值.【解析】以D为原点{}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图则C010EF.设平面CEF的法向量为n=xyz则因为==所以所以令z=1则n=-
221.显然平面ABCD的法向量e=001则cosne==.设二面角为α则cosα=所以tanα=
2.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点 由于两条直线所成的角线面角都是锐角或直角因此可直接通过绝对值来表达故可直接求出而二面角的范围是[0π]有时比较难判断二面角是锐角还是钝角因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断故这是求二面角的难点.30分钟 50分
一、选择题每小题4分共16分
1.已知向量mn分别是直线l和平面α的方向向量和法向量若cosmn=-则l与α所成的角θ为 A.30° B.45° C.135° D.150°【解析】选B.因为cosmn=-所以sinθ=|cosmn|=.又因为直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°所以θ=45°.
2.xx·长春高二检测在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2BC=2DD1=3则AC与BD1所成角的余弦值为 A.0B.C.-D.【解析】选A.建立如图坐标系则D1003B220A200C020所以=-2-23=-
220.所以cos==
0.所以=90°所求角的余弦值为
0.【变式训练】如图已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等M是侧棱CC1的中点则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .【解析】不妨设棱长为2则=-=+cos==0故异面直线AB1和BM所成角为90°.答案:90°
3.xx·哈尔滨高二检测在正四棱锥S-ABCD中O为顶点在底面内的投影P为侧棱SD的中点且SO=OD则直线BC与平面PAC的夹角是 A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.如图以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a则Aa00B0a0C-a00P则=2a00==aa0设平面PAC的一个法向量为n可取n=011则cosn===所以n=60°所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.
4.xx·南宁高二检测如图所示已知点P为菱形ABCD外一点且PA⊥平面ABCDPA=AD=AC点F为PC的中点则二面角C-BF-D的正切值为 A.B.C.D.【解析】选D.如图所示连接BDAC∩BD=O连接OF.以O为原点OBOCOF所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1则BD=.所以BFCD.结合图形可知=且为面BOF的一个法向量由==可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cosn=sinn=所以tann=.
二、填空题每小题5分共10分
5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直则二面角A-BD-C的正弦值为 .【解析】取BC中点O连接AODO建立如图所示的坐标系:设BC=1则ABD.所以===.由于=为平面BCD的一个法向量设平面ABD的法向量n=xyz则所以取x=1则y=-z=1所以n=1-1所以cosn=sinn=.答案:
6.xx·湛江高二检测如图在正三棱柱ABC-A1B1C1中若AB=BB1则AB1与C1B所成的角的大小为 .【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取AC的中点D建立如图坐标系设AB=a则BC1AB
1.所以==.所以cos==
0.所以AB1与C1B所成的角为90°.答案:90°
三、解答题每小题12分共24分
7.xx·新课标全国卷Ⅰ如图三棱柱ABC-A1B1C1中CA=CBAB=AA1∠BAA1=60°.1证明AB⊥A1C.2若平面ABC⊥平面AA1B1BAB=CB求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】1取AB的中点利用线面垂直证明线线垂直.2利用面面垂直确定线面垂直找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角或建立空间直角坐标系求解.【解析】1取AB的中点O连结OCOA1A1B.因为CA=CB所以OC⊥AB.由于AB=AA1∠BAA1=60°故△AA1B为等边三角形所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C故AB⊥A1C.2由1知OC⊥ABOA1⊥AB又平面ABC⊥平面AA1B1B交线为AB所以OC⊥平面AA1B1B故OAOCOA1两两相互垂直.以O为坐标原点的方向为x轴的正方向||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则有A100A100C00B-
100.则=10==-10=0-.设平面BB1C1C的法向量为n=xyz则有即可取n=1-
1.故cosn==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【变式训练】xx·辽宁高考如图AB是圆的直径PA垂直圆所在的平面C是圆上的点.1求证:平面PAC⊥平面PBC.2若AB=2AC=1PA=1求二面角C-PB-A的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直进而证明线面垂直由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系建立空间直角坐标系利用向量法求二面角的余弦值.【解析】1由AB是圆的直径得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面得PA⊥平面ABC;由BC⊂平面ABC得PA⊥BC;又PA∩AC=APA⊂平面PACAC⊂平面PAC所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC据面面垂直判定定理平面PAC⊥平面PBC.2过点C作CM∥AP由1知CM⊥平面ABC.如图所示以点C为坐标原点分别以直线CBCACM为xyz轴建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中AB=2AC=1所以BC=又PA=1所以A010B00P
011.故=00=
011.设平面PBC的法向量为n1=x1y1z1则⇒⇒不妨令y1=1则z1=-
1.故n1=01-
1.设平面PAB的法向量为n2=x2y2z2由同理可得n2=
10.于是cosn1n2===.结合图形和题意二面角C-PB-A的余弦值为.
8.xx·山东高考如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面ABCD是等腰梯形∠DAB=60°AB=2CD=2M是线段AB的中点.1求证:C1M∥平面A1ADD
1.2若CD1垂直于平面ABCD且CD1=求平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值.【解题指南】1本题考查了线面平行的证法可利用线线平行来证明线面平行.2本题可利用空间几何知识求解二面角也可以利用向量法来求解.【解析】1连接AD1因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱所以CD∥C1D1CD=C1D1又因为M为AB的中点AB=2CD=2所以AM=1所以CD∥AMCD=AM所以AM∥C1D1AM=C1D1所以四边形AMC1D1为平行四边形所以AD1∥MC1又因为C1M⊄平面A1ADD1AD1⊂平面A1ADD1所以C1M∥平面A1ADD
1.2方法一:因为AB∥A1B1A1B1∥C1D1所以平面D1C1M与ABC1D1共面作CN⊥AB连接D1N则∠D1NC即为所求二面角的平面角.在ABCD中DC=1AB=2∠DAB=60°所以CN=在Rt△D1CN中CD1=CN=所以D1N=cos∠D1NC==.方法二:作CP⊥AB于P点以C为原点CD为x轴CP为y轴CD1为z轴建立空间直角坐标系所以C1-10D100M所以=100=设平面C1D1M的法向量为n1=x1y1z1所以所以n1=021显然平面ABCD的法向量为n2=001所以cosn1n2===.显然二面角为锐角所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为.【变式训练】如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=BC=2AA1∠ABC=90°D是BC的中点.1求证:A1B∥平面ADC
1.2求二面角C1-AD-C的余弦值.3试问线段A1B1上是否存在点E使AE与DC1成60°角若存在确定E点位置;若不存在说明理由.【解析】1连接A1C交AC1于点O连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱得四边形ACC1A1为矩形O为A1C的中点.又D为BC的中点所以OD为△A1BC的中位线所以A1B∥OD因为OD⊂平面ADC1A1B⊄平面ADC1所以A1B∥平面ADC
1.2由ABC-A1B1C1是直三棱柱且∠ABC=90°得BABCBB1两两垂直.以BCBABB1所在直线分别为xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA=2则B000C200A020C1201D100所以=1-20=2-
21.设平面ADC1的法向量为n=xyz则有所以取y=1得n=21-
2.易知平面ADC的一个法向量为v=
001.所以cosnv==-.因为二面角C1-AD-C是锐二面角所以二面角C1-AD-C的余弦值为.3假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上A1021B1001故可设E0λ1其中0≤λ≤
2.所以=0λ-21=
101.因为AE与DC1成60°角所以|cos|==.即=解得λ=1或λ=3舍去.所以当点E为线段A1B1的中点时AE与DC1成60°角.。