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2019年高中数学
4.2第1课时复数的加法与减法同步检测北师大版选修1-2
一、选择题1.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i[答案] D[解析] ∵z1+z2=2+bi+a+i=2+a+b+1i=0,∴,∴,∴a+bi=-2-i.2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析] z=z2-z1=1-2i-2+i=-1-3i.故z对应的点为-1,-3,在第三象限.3.xx·浙江台州中学期中设x∈R,则“x=1”是“复数z=x2-1+x+1i为纯虚数”的 A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z是纯虚数⇔⇔x=1,故选A.4.在复平面内,点A对应的复数为2+3i,向量对应的复数为-1+2i,则向量对应的复数为 A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i[答案] B[解析] 向量对应的复数即为A点对应的复数,又因为=-,而2+3i--1+2i=3+i,故对应的复数为3+i,故选B.5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= A.-+iB.-iC.--iD.-+i[答案] D[解析] 设z=x+yix、y∈R,则x+yi+=2+i,因此有,解得,故z=+i,故选D.[点评] ∵|z|∈R,z=2-|z|+i,∴z的虚部为1,因此可设z=a+ia∈R,由此得a+i+=2+i解出a.6.复数z=sin1000°-icos1000°在复平面内所对应的点Z位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析] z=sin-80°-icos-80°=-sin80°-icos80°,∴-sin80°0,-cos80°0,∴点Z在第三象限.故应选C.
二、填空题7.xx·揭阳一中期中已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为________.[答案] -1-5i[解析] ∵=-,∴对应复数为2-i-3+4i=-1-5i.8.已知复数z1=a2-2+a-4i,z2=a-a2-2ia∈R,且z1-z2为纯虚数,则a=________.[答案] -1[解析] z1-z2=a2-a-2+a-4+a2-2ia∈R为纯虚数,∴,解得a=-
1.9.在复平面内,O是原点,O、、A对应的复数分别为-2+i、3+2i、1+5i,那么B对应的复数为________.[答案] 4-4i[解析] B=O-O=O-O+A=3+2i--2+i+1+5i=3+2-1+2-1-5i=4-4i.
三、解答题10.已知平行四边形ABCD中,A与A对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.1求A对应的复数;2求D对应的复数;3求△APB的面积.[答案] 1-2+2i 25 3[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A,D对应的复数,先求出向量P、P对应的复数,通过平面向量的数量积求△APB的面积.[解析] 1由于ABCD是平行四边形,所以A=A+A,于是A=A-A,而1+4i-3+2i=-2+2i,即A对应的复数是-2+2i.2由于D=A-A,而3+2i--2+2i=5,即D对应的复数是
5.3由于P=C=-A=,P=D=,于是P·P=-,而=,=,所以··cos∠APB=-,因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,故S△APB=sin∠APB=×××=.即△APB的面积为.[点评] 1根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算.2复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.
一、选择题11.实数x、y满足1+ix+1-iy=2,则xy的值是 A.1B.2C.-2D.-1[答案] A[解析] ∵1+ix+1-iy=2,∴,解得.∴xy=
1.12.若复数x满足z+3-4i=1,则z的虚部是 A.-2B.4C.3D.-4[答案] B[解析] z=1-3-4i=-2+4i,故选B.13.xx·新乡、许昌、平顶山调研复数z
1、z2满足z1=m+4-m2i,z2=2cosθ+λ+3sinθim、λ、θ∈R,并且z1=z2,则λ的取值范围是 A.[-11]B.[-,1]C.[-,7]D.[,1][答案] C[解析] ∵z1=z2,∴∴λ=4sin2θ-3sinθ=4sinθ-2-,∵sinθ∈[-11],∴λ∈[-,7].
二、填空题14.已知k∈R,且关于x的方程x2+k+2ix+2+ki=0有实根,则实数k的值为________.[答案] ±[分析] 方程的实根必然适合方程,设x=x0为方程的实根,代入整理后得a+bi=0的形式,由复数相等的充要条件,可得关于x0和k的方程组,通过解方程组可得x及k的值.[解析] 设方程的实数根为x0,则x+k+2ix0+2+ki=0,∴将2代入1消去k得-x+2=0,∴x0=±,当x0=时,k=-2,当x0=-时,k=2,综上知,k=±
2.15.已知z1=a+a+1i,z2=-3+b+2ia、b∈R,若z1-z2=4,则a+b=________.[答案] 3[解析] z1-z2=[a+a+1i]-[-3+b+2i]=a+3b+a+1-b-2i=4,∴,解得,∴a+b=
3.
三、解答题16.已知z1=3x+y+y-4xi,z2=4y-2x-5x+3yix,y∈R,设z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z
2.[答案] z1=5-9i y2=-8-7i[解析] z=z1-z2=3x+y+y-4xi-[4y-2x-5x+3yi]=[3x+y-4y-2x]+[y-4x+5x+3y]i=5x-3y+x+4yi,又因为z=13-2i,且x,y∈R,所以,解得.所以z1=3×2-1+-1-4×2i=5-9i,z2=4×-1-2×2-[5×2+3×-1]i=-8-7i.17.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求1点C、D对应的复数;2平行四边形ABCD的面积.[解析] 1∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,∴向量对应的复数为3-i-1+2i=2-3i.又=+,∴点C对应的复数为2+i+2-3i=4-2i.∵=,∴向量对应的复数为3-i,即=3,-1.设Dx,y,则=x-2,y-1=3,-1,∴解得∴点D对应的复数为
5.2∵·=||||cosB,∴cosB===.∴sinB=.∴S=||||sinB=××=7,∴平行四边形ABCD的面积为
7.。