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2019年高中数学
4.3定积分的简单应用基础巩固北师大版选修2-2
一、选择题1.求曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积,其中正确的是 A.S=x2-xdx B.S=x-x2dxC.S=y2-ydyD.S=y-dy[答案] B[解析] 作出图形,容易判断应选B.2.由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为 A.B.4C.D.6[答案] C[解析] 由题意知,所围成的面积[-x-2]dx=x-x2+2x|=×4-×42+2×4=.[点评] 本小题重在考查由两条曲线与y轴所围成的曲边形的面积,要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值,并注意积分上、下限范围.3.xx·广州模拟物体A以v=3t3+1m/s的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10tm/s的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间ts为 A.3B.4C.5D.6[答案] C[解析] 因为物体A在t秒内行驶的路程为3t2+1dt,物体B在t秒内行驶的路程为10tdt,所以3t2+1-10tdt=t3+t-5t2|=t3+t-5t2=5⇒t-5t2+1=0,即t=
5.
二、填空题4.xx·宁波五校联考由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为________.[答案] [解析] 联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x=-1,由题意得,由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为2x2+4x+2dx=x3+2x2+2x|=+2+2+-2+2=.5.由直线y=x和曲线y=x3x≥0所围成的图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积为________.[答案] [解析] 由求得或所以V=πx2dx-πx6dx=πx2dx-πx6dx=π=π=π×=.
三、解答题6.求由曲线y=2x-x2,y=2x2-4x所围成图形的面积.[解析] 由得x1=0,x2=
2.如图所示,所求图形的面积S=2x-x2dx+|2x2-4xdx|=2x-x2dx-2x2-4xdx=x2-x3|-x3-2x2|=
4.
一、选择题1.已知自由下落物体的速度为v=gt,则物体从t=0到t=t0所走过的路程为 A.gt B.gtC.gt D.gt[答案] C[解析] ∫t00gtdt=gt2|t00=gt.2.如果1N的力能把弹簧拉长1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为 A.
0.18J B.
0.26JC.
0.12J D.
0.28J[答案] A[解析] 设Fx=kx.当F=1N时,x=
0.01m,则k=100,所以Fx=100x,所以W=∫100xdx=50x2|=
0.18J.3.xx·湖北理,6若函数fx,gx满足-1fxgxdx=0,则称fx,gx为区间[-11]上的一组正交函数,给出三组函数
①fx=sinx,gx=cosx;
②fx=x+1,gx=x-1;
③fx=x,gx=x
2.其中为区间[-11]上的正交函数的组数是 A.0 B.1C.2 D.3[答案] C[解析] 由题意,要满足fx,gx是区间[-11]上的正交函数,即需满足fxgxdx=
0.
①fxgxdx=sinxcosxdx=sinxdx=-cosx|=0,故第
①组是区间[-11]上的正交函数;
②fxgxdx=x+1x-1dx=-x|=-≠0,故第
②组不是区间[-11]上的正交函数;
③fxgxdx=x·x2dx=|=0,故第
③组是区间[-11]上的正交函数.综上,其中为区间[-11]上的正交函数的组数是
2.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为 A. B.32π C. D.3π[答案] A[解析] 由V=π·2x2dx=π4x2dx=4πx2dx=4π·x3|=8-1=.5.xx·福建理,6如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D.[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法,联立∴O00,B11,∴S阴影=-xdx=x-|=-=,∴P===.定积分的几何意义是四边梯形的面积,几何概型的概率计算方法是几何度量的比值.
二、填空题6.抛物线y=x2与直线y=x所围成的图形的面积是________.[答案] [解析] 如图,y=x2与y=x的交点坐标为00和,,所以所求的面积为=[2-3]-0=.7.曲线y=ex,直线x=0,x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________.[答案] [解析] e-1=.
三、解答题8.计算y-12=x+1及y=x所围的平面图形的面积.[分析] 首先画出草图如图所示,若选x为积分变量,则需将图形分割,运算繁琐,可选用y作为积分变量,为此求出两线交点的纵坐标,确定出被积函数和积分的上、下限.[解析] 将已知条件改写为x=y以及x=y-12-1,由图知所求面积为阴影部分的面积.解方程组得交点的纵坐标为y1=0及y2=3,因此,阴影部分面积S={y-[y-12-1]}dy=3y-y2dy==.[点评] 解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点,灵活选用积分变量.9.如图,抛物y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B,点P在抛物线上从A向B运动.1求使△PAB的面积为最大时P点的坐标a,b;2证明由抛物线与线段AB围成的图形,被直线x=a分为面积相等的两部分.[解析] 1解方程组,得x1=1,x2=-
4.∴抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A13,B-4,-12,∴P点的横坐标a∈-41.点Pa,b到直线y=3x的距离为d=.∵P点在抛物线上,∴b=4-a2,d′a=·4-3a-a2′=-2a-3=0,∴a=-.即当a=-时,d为最大,这时b=4-=.∴P点的坐标为时,△PAB的面积最大.2设上述抛物线与直线所围成的面积为S,位于x=-的右侧的面积为S
1.S=-44-x2-3xdx=,S1=-4-x2-3xdx=.∴S=2S1,即直线x=-平分S.10.求由曲线y=x2,直线y=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.[解析] 曲线y=x2与直线y=x所围成的图形如图中阴影部分.设所得旋转体的体积为V,根据图像可以看出V等于直线y=x,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积设为V1减去曲线y=x2,直线x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积设为V2.因为V1=πx2dx==×13-03=,V2=πx22dx=πx4dx==,所以V=V1-V2=-=.[点评] 求旋转体的体积时,要先画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用定积分求解,本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的.。