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2019年高中数学常用逻辑用语单元综合测试新人教A版选修2-1
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.命题“存在x0∈R2x0≤0”的否定是 A.不存在x0∈R2x0>0B.存在x0∈R2x0≥0C.对任意的x∈R2x≤0D.对任意的x∈R2x>0解析因为命题“存在x0∈R2x0≤0”是特称命题,所以它的否定是全称命题.答案D2.xx·安徽卷“2x-1x=0”是“x=0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若2x-1x=0,则x=或x=0,即不一定推出x=0;若x=0,则一定能推出2x-1x=
0.故“2x-1x=0”是“x=0”的必要不充分条件.答案B3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是 A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题为已知命题的逆否命题.答案B4.若向量a=x3x∈R,则“x=4是|a|=5”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由x=4知|a|==5;反之,由|a|==5,得x=4或x=-
4.故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件,故选A.答案A5.xx·新课标全国卷Ⅰ已知命题p∀x∈R2x<3x;命题q∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是 A.p∧q B.綈p∧qC.p∧綈qD.綈p∧綈q解析命题p为假,因为当x<0时,2x>3x.命题q为真,因为fx=x3+x2-1在0,+∞内单调递增,且f0=-1<0,f1=1>0,所以在01内函数fx必存在零点.所以綈p∧q为真命题,故选B.答案B6.在三角形ABC中,∠A>∠B,给出下列命题
①sin∠A>sin∠B;
②cos2∠A<cos2∠B;
③tan>tan.其中正确的命题个数是 A.0个B.1个C.2个D.3个解析当∠A、∠B均为锐角时,由函数的单调性及不等式的性质知都成立;当∠B为锐角,∠A为钝角或直角时,又有∠A、∠B为三角形的内角,所以≤∠A<π,0<∠B<,∠A+∠B<π,即≤<,0<<,∠B<π-∠A<,即tan>tan,sin∠B<sinπ-∠A=sin∠A,cos∠B>cosπ-∠A=-cos∠A≥0,所以cos2∠A<cos2∠B.答案D7.下面说法正确的是 A.命题“∃x0∈R,使得x+x0+1≥0”的否定是“∀x∈R,使得x2+x+1≥0”B.实数x>y是x2>y2成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“綈p∧綈q”也为假命题D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题解析对A选项,命题的否定是“∀x∈R,使得x2+x+1<0”,故不正确,对于B选项,由x>yA/⇒x2>y2,且x2>y2A/⇒x>y,故不正确.对于C选项,若“p∨q”为假命题,则“綈p∧綈q”为真命题,故不正确.对于D选项,若α=0,则cosα=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.答案D8.已知命题p∃x0∈R,使tanx0=1,命题q∀x∈R,x2>
0.下面结论正确的是 A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧綈q”是假命题C.命题“綈p∨q”是真命题D.命题“綈p∧綈q”是假命题解析∵p真,q假.故p∧q为假,p∧綈q为真.綈p∨q为假,綈p∧綈q为假,选D.答案D9.下列结论错误的是 A.命题“若log2x2-2x-1=1,则x=-1”的逆否命题是“若x≠-1,则log2x2-2x-1≠1”B.设α,β∈,则“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件C.若“綈p∧q”是假命题,则“p∨q”为假命题D.“∃α∈R,使sin2α+cos2α≥1”为真命题解析根据逆否命题定义知A选项正确.由正切函数单调性,可判断B选项正确.D选项作为特称命题正确,对于C选项,“綈p∧q”为假,则綈p,q中至少一个为假,故p∨q真假不定,故选C.答案C10.给出下列三个命题
①若a≥b>-1,则≥;
②若正整数m和n满足m≤n,则≤;
③设Px1,y1是圆O1x2+y2=9上的任意一点,圆O2以Qa,b为圆心,且半径为
1.当a-x12+b-y12=1时,圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数为 A.0个B.1个C.2个D.3个解析
①≥⇒1-≥1-⇒≤,又a≥b>-1⇔a+1≥b+1>0知本命题为真命题.
②用基本不等式2xy≤x2+y2x>0,y>0,取x=,y=,知本命题为真命题.
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB=1,所以P、O2可能都在圆O1上,当O2在圆O1上时,圆O1与圆O2相交.故本命题为假命题.答案B第Ⅱ卷非选择题,共70分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.给出命题“若函数y=fx是幂函数,则函数y=fx的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是__________.解析∵命题“若函数y=fx是幂函数,则函数y=fx的图象不过第四象限”是真命题,其逆命题“若函数y=fx的图象不过第四象限,则函数y=fx是幂函数”是假命题,如函数y=x+
1.再由互为逆否命题真假性相同知,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是1个.答案1个12.命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是__________.解析∵命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,∴不等式ax2-2ax-3≤0对于任意的实数x恒成立,1当a=0时,符合条件;2当即-3≤a<
0.由
1、2得实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-3}.答案-3≤a≤013.若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是__________.解析∵|x-1|<a⇔1-a<x<1+a,又∵不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,∴即∴a≥
3.答案[3,+∞14.已知命题p∀x∈
[12],x2-a≥0,命题q∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是__________.解析∵“p∧q”为真命题,∴p,q均为真命题.由p为真命题得a≤
1.由q为真命题得a≤-2或a≥
1.∴当p,q同时为真时,有a≤-2或a=
1.答案a≤-2或a=1
三、解答题本大题共4小题,满分50分.15.12分命题已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.解逆命题已知a、b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集.3分否命题已知a、b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2-4b<
0.6分逆否命题已知a、b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集.9分原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.12分16.12分已知p|x-3|≤2,q x-m+1x-m-1≤0,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解由题意p-2≤x-3≤2,∴1≤x≤
5.∴綈p x<1或x>
5.4分q m-1≤x≤m+1,∴綈q x<m-1或x>m+
1.8分又∵綈p是綈q的充分不必要条件,∴∴2≤m≤
4.12分17.12分设命题p∃x0∈R,x+2ax0-a=
0.命题q∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+
1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.解当命题p为真时,Δ=4a2+4a≥0得a≥0或a≤-1,当命题q为真时,a+2x2+4x+a-1≥0恒成立,∴a+2>0且16-4a+2a-1≤0,即a≥
2.6分由题意得,命题p和命题q一真一假.当命题p为真,命题q为假时,得a≤-1;当命题p为假,命题q为真时,得a∈∅;∴实数a的取值范围为-∞,-1].12分18.14分给出两个命题命题甲关于x的不等式x2+a-1x+a2≤0的解集为∅,命题乙函数y=2a2-ax为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.1甲、乙至少有一个是真命题;2甲、乙中有且只有一个是真命题.解甲命题为真时,Δ=a-12-4a2<0,即a>或a<-
1.乙命题为真时,2a2-a>1,即a>1或a<-.1甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,∴a的取值范围是{a|a<-或a>}.7分2甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况甲真乙假时,<a≤1,甲假乙真时,-1≤a<-,∴甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为{a|<a≤1或-1≤a<-}.14分。