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2019年高中数学模块学习评价新人教A版选修2-2
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.xx·课标全国卷Ⅰ若复数z满足3-4iz=|4+3i|,则z的虚部为 A.-4 B.-C.4D.【解析】 ∵3-4iz=|4+3i|,∴z====+i,∴z的虚部为.【答案】 D2.一物体的运动方程是s=3+2t则在[
22.1]这段时间内的平均速度为 A.
0.41 B.2 C.
0.3 D.
0.2【解析】 ===
2.【答案】 B3.曲线y=ex在点2,e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.e2B.2e2C.e2D.【解析】 ∵f′x=ex,∴曲线在点2,e2处的切线的斜率为k=f′2=e2,切线方程为y-e2=e2x-2,即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A10,B0,-e2,则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2=.【答案】 D4.若复数z满足3-i=z-2i,则复数z在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 z===+i,其对应点在第一象限.【答案】 A5.xx·浙江高考已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′x的图象如图1所示,则该函数的图象是 图1【解析】 从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0时最大,所以函数fx的图象的变化率也先增大后减小,在x=0时变化率最大.A项,在x=0时变化率最小,故错误;C项,变化率是越来越大的,故错误;D项,变化率是越来越小的,故错误.B项正确.【答案】 B6.函数fx=ax3-x在R上为减函数,则 A.a≤0B.a1C.a2D.a≤【解析】 由题意可知f′x=3ax2-1≤0在R上恒成立,则a≤
0.【答案】 A
7.|cosx|dx等于 A.-2B.0C.2D.1【解析】 ∵|cosx|==sinx+-sinx=1+1=
2.【答案】 C8.xx·宁波高二检测函数y=lnxx0的图象与直线y=x+a相切,则a等于 A.ln2-1B.ln2+1C.ln2D.2ln2【解析】 因为函数y=lnx的导数y′=,又函数y=lnxx0的图象与直线y=x+a相切,所以=,即x=2,所以切点P2,ln2,所以ln2=1+a,即a=ln2-
1.【答案】 A9.函数fx在定义域R内可导,若fx=f2-x,且x-1f′x0,a=f0,b=f,c=f3,则a,b,c的大小关系是 A.abcB.cabC.bacD.cba【解析】 因为x-1f′x0,所以当x1,f′x0,即函数y=fx在1,+∞上是增函数,又fx=f2-x,所以a=f0=f2,b=f=f,所以cab.【答案】 B10.在数学归纳法的递推性证明中,由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时,fn=1+++…+增加的项数是 A.1B.2k+1C.2k-1D.2k【解析】 ∵fk=1+++……+,又fk+1=1+++…++++…+.从fk到fk+1是增加了2k+1-1-2k+1=2k项.【答案】 D11.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R= A.B.C.D.【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点,四面体的各个面为底面,可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥,从而有S1R+S2R+S3R+S4R=V.即S1+S2+S3+S4R=3V.∴R=.【答案】 C12.xx·辽宁高考设函数fx满足x2f′x+2xfx=,f2=,则x0时,fx A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【解析】 由题意知f′x=-=.令gx=ex-2x2fx,则g′x=ex-2x2f′x-4xfx=ex-2x2f′x+2xfx=ex-=ex.由g′x=0得x=2,当x=2时,gxmin=e2-2×22×=0,即gx≥0,则当x0时,f′x=≥0,故fx在0,+∞上单调递增,既无极大值也无极小值.【答案】 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上13.xx·西安高二检测观察下列等式13+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为________.【解析】 第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+3+…+i+1的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=
212.【答案】 13+23+33+43+53+63=21214.xx·江苏高考设z=2-i2i为虚数单位,则复数z的模为________.【解析】 z=2-i2=3-4i,所以|z|=|3-4i|==
5.【答案】 515.如果复数1,a+i3+a2ia∈R成等比数列,那么a的值为________.【解析】 由题意知,a+i2=1×3+a2i,即a2-1+2ai=3+a2i,∴解得a=
2.【答案】 216.xx·佛山高二检测若曲线fx=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.【解析】 f′x=2ax+,∵fx存在垂直于y轴的切线.∴f′x=0有解,即2ax+=0有解,∴a=-,∴a∈-∞,0【答案】 -∞,0
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.【解】 设z=a+bia,b∈R,而|z|=1+3i-z,即-1-3i+a+bi=0,则解得z=-4+3i,===3+4i.18.本小题满分12分已知数列,,…,,…,Sn为该数列的前n项和,计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出Snn∈N*,并用数学归纳法加以证明.【解】 推测Sn=n∈N*.用数学归纳法证明如下1当n=1时,S1==,等式成立;2假设当n=k时等式成立,即Sk=,那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+=+=====.也就是说,当n=k+1时,等式成立.根据1和2,可知对一切n∈N*,等式均成立.19.本小题满分12分函数fx=4x3+ax2+bx+5在-∞,-1和,+∞单调递增,在-1,单调递减.1求函数的解析式;2求fx在[-12]上的最大值和最小值.【解】 1∵f′x=12x2+2ax+b,且由题意可知-1,是f′x=0的两个实根,∴解得a=-3,b=-18,∴fx=4x3-3x2-18x+
5.2由1得f′x=62x-3x+1,当x∈[,2]时,f′x0,函数fx单调递增,当x∈[-1,]时,f′x0,函数fx单调递减,又f-1=16,f=-,f2=-
11.故fxmax=16,fxmin=-.20.本小题满分12分1在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证=+.2在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.【解】 1如图所示,由射影定理AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,∴===,又BC2=AB2+AC2,∴==+.∴=+.2猜想类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想在四面体A-BCD中,AB、AC、AD两两垂直,AE⊥平面BCD.则=++.如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD,∴AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴=+.易知在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴=+,∴=++,故猜想正确.21.本小题满分12分xx·南京高二检测设fx=x3+ax2+bx+1的导数f′x满足f′1=2a,f′2=-b,其中常数a,b∈R.1求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程;2设gx=f′xe-x,求函数gx的极值.【解】 1因为fx=x3+ax2+bx+1,故f′x=3x2+2ax+b.令x=1,得f′1=3+2a+b,由已知f′1=2a,因此3+2a+b=2a,解得b=-
3.又令x=2,得f′2=12+4a+b,由已知f′2=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.因此fx=x3-x2-3x+1,从而f1=-.又因为f′1=2×-=-3,故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y--=-3x-1,即6x+2y-1=
0.2由1知gx=3x2-3x-3e-x,从而有g′x=-3x2+9xe-x.令g′x=0,得-3x2+9x=0,解得x1=0,x2=
3.当x∈-∞,0时,g′x0,故gx在-∞,0上为减函数;当x∈03时,g′x0,故gx在03上为增函数;当x∈3,+∞时,g′x0,故gx在3,+∞上为减函数.从而函数gx在x1=0处取得极小值g0=-3,在x2=3处取得极大值g3=15e-
3.22.本小题满分12分xx·北京高考已知函数fx=x2+xsinx+cosx.1若曲线y=fx在点a,fa处与直线y=b相切,求a与b的值;2若曲线y=fx与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.【解】 由fx=x2+xsinx+cosx,得f′x=x2+cosx.1因为曲线y=fx在点a,fa处与直线y=b相切,所以f′a=a2+cosa=0,b=fa.解得a=0,b=f0=
1.2令f′x=0,得x=
0.fx与f′x的变化情况如下x-∞,000,+∞f′x-0+fx1所以函数fx在区间-∞,0上单调递减,在区间0,+∞上单调递增,f0=1是fx的最小值.当b≤1时,曲线y=fx与直线y=b最多只有一个交点;当b1时,f-2b=f2b≥4b2-2b-14b-2b-1b,f0=1b,所以存在x1∈-2b0,x2∈02b,使得fx1=fx2=b.由于函数fx在区间-∞,0和0,+∞上均单调,所以当b1时曲线y=fx与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=fx与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是1,+∞.。