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2019年高中数学模块学习评价苏教版必修5
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上.1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=______.【解析】 =q3=,∴q=.【答案】 2.xx·临沂高二检测若函数fx=则不等式fx<4的解集是________.【解析】 不等式fx<4等价于或即0<x<或-4<x≤
0.因此,不等式fx<4的解集是-4,.【答案】 -4,3.设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7=________.【解析】 依题意得3a4=12,a4=4,所以a1+a2+…+a7==7a4=
28.【答案】 284.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于________.【解析】 由a2+a4=6可得,S5====
15.【答案】 155.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于________.【解析】 依题意与正弦定理得=,sinC==,C=60°或C=120°.当C=60°时,A=90°,△ABC的面积等于AB·AC=;当C=120°时,A=30°,△ABC的面积等于AB·AC·sinA=.因此,△ABC的面积等于或.【答案】 或6.已知点Px,y的坐标满足条件那么x2+y2的取值范围是________.【解析】 作出不等式组所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,显然,原点O到直线2x+y-2=0的距离最小为=,此时可得x2+y2min=;点12到原点O的距离最大,为=,此时可得x2+y2max=
5.【答案】 [,5]7.若数列{an}满足a1=19,an+1=an-3n∈N*,则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为________.【解析】 ∵an+1-an=-3,∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴an=19+n-1×-3=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,则有∴∴≤k≤.∵k∈N*,∴k=
7.故满足条件的n的值为
7.【答案】 78.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=,B=,tanC=2,则c=________.【解析】 ⇒sin2C=⇒sinC=.由正弦定理,得=,∴c=×b=
2.【答案】 29.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,A=60°,则=________.【解析】 ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴c=,∴==a·=a·=sinA=.【答案】 10.已知向量a=3,-2,b=x,y-1,若a∥b,则4x+8y的最小值为________.【解析】 ∵a∥b,∴3y-1--2x=0,∴2x+3y=
3.∴4x+8y=22x+23y≥2=2=4,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.【答案】 411.已知x0,y0,且x+y=xy,则u=x+4y的取值范围是________.【解析】 ∵x+y=xy,∴+=1,∴u=1x+4y=+x+4y=5++≥5+4=
9.【答案】 [9,+∞12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则tanA的值是________.【解析】 依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cosA===-,又0<A<π,所以A=,tanA=tan=-.【答案】 -13.等比数列{an},an0,q≠1,且a
2、a
3、a1成等差数列,则=________.【解析】 ∵a2,a3,a1等差,∴a3=a1+a2,∴a1q2=a1+a1q,即q2=1+q,∴q2-q-1=0,∴q=.∵an0,∴q=,∴===.【答案】 14.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上的一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为________.【解析】 由△BCD的面积为1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos∠DCB=.在△BCD中,由余弦定理可知,cos∠DCB==,解得BD=2,所以cos∠DBC==.又在△BCD中,∠DBC对应的边长最短,所以∠DBC为锐角,所以sin∠DBC=.在△ABC中,由正弦定理可知=,可得AC===.【答案】
二、解答题本题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知c=2,C=.若△ABC的面积等于,求a、b.【解】 由余弦定理,知c2=a2+b2-2abcosC,又c=2,C=,∴a2+b2-ab=
4.∵△ABC的面积等于,∴absinC=,∴ab=
4.联立方程得得a=2,b=
2.16.本小题满分14分已知{an}是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.1求数列{an}的通项公式;2若bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.【解】 1设等比数列{an}的公比为q,则a3=a1·q2=2q2,a4=a1·q3=2q
3.∵a1,a3+1,a4成等差数列,∴a1+a4=2a3+1,即2+2q3=22q2+1,整理得2q2q-2=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2×2n-1=2nn∈N*.2∵bn=log2an=log22n=n,∴Sn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n=.17.本小题满分14分在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,·=c2-a-b2,且a+b=4,1求cosC的值;2求△ABC周长的最小值.【解】 1由向量数量积定义和余弦定理得abcosC=a2+b2-2abcosC-a2+b2-2ab,即3abcosC=2ab,∴cosC=.2l=a+b+c=4+c,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=a+b2-ab,∵ab≤2=4a=b=2时取等号,∴c2≥16-·4=.当且仅当a=b=2时,lmin=4+=4+.18.本小题满分16分已知在等比数列{an}中,a1=2,a3=18,等差数列{bn}中,b1=2,且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4>
20.1求数列{an}的通项公式an;2求数列{bn}的前n项和Sn.【解】 1设数列{an}的公比为q.因为等比数列{an}中,a1=2,a3=18,a1a3=a,所以a2=±
6.又因为a1+a2+a3>20,所以a2=6,故公比q=
3.所以an=2·3n-
1.2设数列{bn}的公差为d,则b1+b2+b3+b4=4b1+6d=a1+a2+a3=
26.由b1=2,可知d=3,所以bn=3n-
1.所以数列{bn}的前n项和Sn==.19.本小题满分16分某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设fn表示前n年的纯利润总和fn=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额.1该厂从第几年开始盈利?2若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案
①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;
②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂.问哪种方案更合算?【解】 由题意知fn=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72,1由fn>0,即-2n2+40n-72>0,解得2<n<18,由n∈N*知,从第三年开始盈利.2方案
①年平均纯利润=40-2n+≤16,当且仅当n=6时等号成立.故方案
①共获利6×16+48=144万元,此时n=
6.方案
②fn=-2n-102+
128.当n=10时,fnmax=
128.故方案
②共获利128+16=144万元.比较两种方案,获利都是144万元,但由于第
①种方案只需6年,而第
②种方案需10年,故选择第
①种方案更合算.20.本小题满分16分设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=
20.1求数列{bn}的通项公式;2若cn=an·bnn=123,…,Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.【解】 1bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=.当n≥2时,由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,所以bn-bn-1=-2Sn-Sn-1=-2bn,即=,所以{bn}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是bn=2·.2由数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20,可得公差d=a7-a5=3,a1=a5-4d=2,可得an=3n-1,从而cn=an·bn=23n-1·,所以Tn=2[2·+5·+8·+…+3n-1·],Tn=2[2·+5·+…+3n-4·+3n-1·].两式相减得Tn=2[2·+3·+3·+…+3·-3n-1·],所以Tn=--.。