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2019年高中数学第1章常用逻辑用语检测题B北师大版选修2-1
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知命题p函数fx=loga3-x的定义域为-∞,3,命题q如果k0,则函数hx=在区间0,+∞上是减函数,对以上两个命题,下列结论正确的是 A.命题p且q为真B.命题p或非q为假C.命题p或q为假D.命题非p且非q为假[答案] D[解析] 由3-x0⇒x3,所以命题p是真命题,则非p是假命题;又由k0,易知函数hx=在区间0,+∞上是增函数,则命题q为假,则非q为真,因此p且q为假,p或非q为真,p或q为真,非p且非q为假,故选D.[点评] 解答本题的关键是根据题设条件判断命题p与命题q的真假,由此判断出各种复合命题的真假.2.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a=2时,直线2x+2y=0,显然平行于x+y=1,若直线ax+2y=0与直线x+y=1平行,则须满足a-2=0,得a=
2.3.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数[答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”,故选B.4.一个棱柱是正四棱柱的条件是 A.底面是正方形,有两个侧面是矩形B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱[答案] C[解析] 根据正四棱柱的结构特征加以判断.5.对于函数
①fx=|x+2|,
②fx=x-22,
③fx=cosx-2,判断如下两个命题的真假命题甲fx+2是偶函数;命题乙fx在-∞,2上是减函数,在2,+∞上是增函数.能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A.
①②B.
①③C.
②D.
③[答案] C[解析] 对
①,fx+2=|x+4|不是偶函数,∴命题甲为假,故排除选项A、B.对
③,fx=cosx-2显然不是区间2,+∞上的增函数,命题乙为假,排除D.故选C.命题思路考查函数性质及分析问题、解决问题的能力.6.已知fx是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“fx为
[01]上的增函数”是“fx为
[34]上的减函数”的 A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件[答案] D[解析] 由已知fx在[-10]上为减函数,∴当3≤x≤4时,-1≤x-4≤0,∴当x∈
[34]上是减函数,反之也成立,故选D.本题运用数形结合的方法更容易求解.7.已知命题p任意x1,x2∈R,fx2-fx1x2-x1≥0,则非p是 A.存在x1,x2∈R,fx2-fx1x2-x1≤0B.任意x1,x2∈R,fx2-fx1x2-x1≤0C.存在x1,x2∈R,fx2-fx1x2-x10D.任意x1,x2∈R,fx2-fx1x2-x10[答案] C[解析] 本题考查全称命题的否定.根据全称命题的否定为存在性命题,即若p为“任意x∈M,gx”非p为“存在x∈M,非gx”,故C正确.要正确区别命题的否定与否命题,这是两个完全不同的概念,不可混淆.8.下列命题中的真命题有
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等;
②△ABC中,·0是△ABC为钝角三角形的充要条件;
③2b=a+c是数列a、b、c为等差数列的充要条件;
④△ABC中,tanAtanB1是△ABC为锐角三角形的充要条件.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率,
①假.由·0只能说明∠ABC为锐角,当△ABC为钝角三角形时,·的符号也不能确定,因为A、B、C哪一个为钝角未告诉,∴
②假;
③显然为真.由tanAtanB1,知A、B为锐角,∴sinAsinBcosAcosB,∴cosA+B0,即cosC
0.∴角C为锐角,∴△ABC为锐角三角形.反之若△ABC为锐角三角形,则A+B,∴cosA+B0,∴cosAcosBsinAsinB,∵cosA0,cosB0,∴tanAtanB1,故
④真.9.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是 A.
②③④B.
①③④C.
①②④D.
①②③[答案] C[解析] 由于两相交直线可确定一个平面,设l过M点,与AB、B1C1均相交,则l与AB可确定平面α,l与B1C1可确定平面β,又AB与B1C1为异面直线,∴l为面α与面β的交线,如图所示.GE即为l,故
①正确.由于DD1过点M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1为AB,B1C1的公垂线,DD1∥BB1,故
②正确.显然
④正确.过M点有无数个平面与AB,B1C1都相交,故
③错误.10.已知集合A={x∈R|2x8},B={x∈R|-1xm+1},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是 A.m≥2B.m≤2C.m2D.-2m2[答案] C[解析] A={x∈R|2x8}={x|-1x3}.∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,∴AB,∴m+13,即m
2.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分11.p ax+b0的解集为;q x-ax-b0的解集为{x|axb},则p且q是________命题.填“真”或“假”.[答案] 假[解析] p ax+b0的解集为是假命题;q x-ax-b0的解集为{x|axb}也是假命题.12.已知a,b为两个非零向量,有以下命题
①a2=b2;
②a·b=b2;
③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是________.将所有正确命题的序号填在题中横线上[答案]
①②③[解析] 显然a=b时
①②③成立,即必要性成立.当a2=b2时,a+b·a-b=0,不一定有a=b;当a·b=b2时,b·a-b=0,不一定有a=b;|a|=|b|且a∥b时,a=b或a=-b,即
①②③都不能推出a=b.13.有下列命题
①非零向量a与b.若a·b=0,则a⊥b;若
②|a|=|b|,则a=b;
③若ac2bc2,则ab;
④x2+10x∈R;
⑤22340能被3或5整除;
⑥不存在x∈R,使得x2+x+
10.其中假命题的序号为________.[答案]
②[解析]
②取a=-b,满足|a|=|b|,但a=b不成立,其余均为真命题.14.若关于x的不等式a-1x2+2x-30有解,则实数a的取值范围是________.[答案] ,+∞[分析] 由“有解”知,这是一个特称命题,只要存在x∈R使不等式成立即可.[解析] 当a-1=0时,不等式化为2x-30显然有解;当a-10时,二次函数fx=a-1x2+2x-3开口向上,显然fx0有解;当a-10时,要使不等式有解,应有Δ=4+12a-10,∴a,∴a
1.综上a的取值范围是a.15.为激发学生的学习兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合A={x|0},B={x|x2-3x-4≤0},C={x|logx1};然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上,并将“ ”中的数字告诉他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数.以下是甲、乙、丙三位同学的描述甲此数为小于6的正整数,乙A是B成立的充分不必要条件,丙A是C成立的必要不充分条件.若老师评说三位同学都说得对,则“ ”中的数应为________.[答案] 1[解析] 集合B={x|-1≤x≤4},集合C={x|0x}.由甲的描述可设括号内的数为aa0,故集合A={x|0x}.根据乙、丙的描述可得集合A、B、C的关系是CAB,故∈,4],所以a∈[,2.又a为正整数,所以a=
1.
三、解答题本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分16.写出下列命题的否定,并判断其真假1p任意m∈R,方程x2+x-m=0必有实数根;2q存在x∈R,使得x2+x+1≤
0.[解析] 1非p存在m∈R,使方程x2+x-m=0无实数根.若方程x2+x-m=0无实数根,则Δ=1+4m0,∴m-,∴当m=-1时,非p为真.2非q任意x∈R,使得x2+x+
10.∵x2+x+1=x+2+0∴非q为真.17.命题“若m≤0,或n≤0,则m+n≤0”.1写出上面命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假;2给出原命题中的前提与结论的充要关系.[分析] 根据四种命题之间的关系,写逆命题、否命题、逆否命题,关键是弄清楚原命题中的条件与结论.[解析] 1原命题若m≤0,或n≤0,则m+n≤0,这是假命题.逆命题若m+n≤0,则m≤0,或n≤0,这是真命题.否命题若m0,且n0,则m+n0,这是真命题.逆否命题若m+n0,则m0,且n0,这是假命题.2前提p m≤0,或n≤0,结论q m+n≤0由1知pq,q⇒p,故p是q的必要不充分条件.[点评] 1在判断原命题与逆命题的真假时,要借助
①原命题与其逆否命题真假相同,
②逆命题与否命题真假相同.2若原命题真,逆命题假,则原命题中前提是结论的充分不必要条件;若原命题假,逆命题真时,则前提是结论的必要不充分条件;若原命题、逆命题都真时,则前提是结论的充要条件;若原命题、逆命题都假时,则前提是结论的既不充分也不必要条件,以上反之也对.18.已知x∈R,a=x2+,b=-x+2,c=x2-x+
1.求证a,b,c中至少有一个不小于
1.[分析] 在已知中,a,b,c均以函数的形式单独出现,故想直接证明难度较大,所以可以考虑用反证法.[解析] 假设a,b,c均小于1,则a+b+c3,
①又a+b+c=2x2-2x+=2x-2+3≥3,
②则
①和
②矛盾.∴假设不成立,即a,b,c中至少有一个不小于
1.[点评] 1含有“至多”“至少”类型的命题或命题以否定的形式出现,常选用反证法证明.2由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.3反证法是一种推翻命题结论的所有反面情况,从而树立原命题正确的证明方法.学习反证法,一定要注意结论的反面结论可能不唯一.19.已知函数fx=4sin2+x-2cos2x-1,且给定条件p“≤x≤”.1求fx的最大值及最小值;2若条件q“|fx-m|2”,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.[解析] 1∵fx=2[1-cos+2x]-2cos2x-1=2sin2x-2cos2x+1=4sin2x-+1,又∵≤x≤,∴≤2x-≤.∴3≤4sin2x-+1≤5,∴fxmax=5,fxmin=
3.2∵|fx-m|2,∴m-2fxm+
2.又∵p是q的充分条件,∴解得3m
5.∴实数m的取值范围为{m|3m5}.20.设命题p实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0;命题q实数x满足.1若a=1,且“p且q”为真,求实数x的取值范围;2若非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.[解析] 1由x2-4ax+3a20得x-3ax-a0,又a0,所以ax3a,当a=1时,1x3,即p为真时,实数x的取值范围是1x
3.由,得2x≤3,即q为真时,实数x的取值范围是2x≤
3.若“p且q”为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2x
3.2非p是非q的充分不必要条件,即非p⇒非q,且非q不能推出非p,设A={x|非p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|非q}={x|x≤2或x3},则AB,结合数轴得0a≤2,且3a3,所以实数a的取值范围是1a≤
2.21.已知fx=ax2+bx+c的图像过点-10,是否存在常数a,b,c使不等式x≤fx≤对一切实数x均成立?[解析] 因为fx的图像过点-10,所以a-b+c=
0.因为x≤fx≤对一切x∈R均成立.所以当x=1时,也成立.即1≤a+b+c≤
1.故有a+b+c=1,所以b=,c=-a,所以fx=ax2+x+-a.故应有x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立,即,恒成立⇒⇒所以a=,所以c=-a=.所以存在一组常数a=,b=,c=,使不等式x≤fx≤对一切实数x均成立.。