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2019年高中数学第1章解三角形单元综合检测(B)苏教版必修5
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.在△ABC中,a=2,b=,c=1,则最小角的大小为________.2.△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,设向量p=a+c,b,q=b-a,c-a,若p∥q,则角C的大小为________.
3.在△ABC中,已知|||=4,||=1,S△ABC=,则·=________.4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120°,则a=________.5.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为________.6.已知锐角三角形的边长分别为24,x,则x的取值范围是________.7.下列判断中正确的是________.填序号
①△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解;
②△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解;
③△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解;
④△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解.8.在△ABC中,B=30°,AB=,AC=1,则△ABC的面积为________.9.在△ABC中,BC=2,B=,若△ABC的面积为,则tanC=________.10.在△ABC中,如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2,则△ABC的形状是________三角形.11.△ABC中,若a4+b4+c4=2c2a2+b2,则角C的度数为________.12.在△ABC中,若=,则B=________.13.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为________海里/小时.14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若b-ccosA=acosC,则cosA=________.
二、解答题本大题共6小题,共90分15.14分如图,H、G、B三点在同一条直线上,在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α,β,CD=a,测角仪器的高是h,用a,h,α,β表示建筑物高度AB.16.14分设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA.1求B的大小.2若a=3,c=5,求b.17.14分如图所示,已知⊙O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是⊙O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.1若∠POB=θ,试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数;2求四边形OPDC面积的最大值.18.16分为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水平方向在A、B两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面内如示意图.飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括
①指出需要测量的数据用字母表示,并在图中标出;
②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.19.16分在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.1若△ABC的面积等于,求a,b.2若sinB=2sinA,求△ABC的面积.20.16分如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.第1章 解三角形B答案
1.解析 ∵abc,∴C最小.∵cosC===,又∵0Cπ,∴C=.
2.解析 ∵p∥q,∴a+cc-a-bb-a=
0.∴c2=a2+b2-ab,∵c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=,又∵0Cπ,∴C=.3.±2解析S△ABC=||·||·sinA=×4×1×sinA=.∴sinA=.又∵0°A180°,∴A=60°或120°.·=||·||cosA=4×1×cosA=±
2.
4.解析 由正弦定理得=,∴sinC===,∵cb,∴C为锐角.∴C=30°,∴A=180°-120°-30°=30°.∴a=c=.
5.解析 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,∴AC=
3.由正弦定理得==.6.2x2解析 由题意,x应满足条件,解得2x
2.7.
②解析
①a=bsinA,有一解;
②A90°,ab,有一解;
③absinA,无解;
④cbcsinB,有两解.
8.或解析 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,∴12=2+BC2-2××BC×.整理得BC2-3BC+2=
0.∴BC=1或
2.当BC=1时,S△ABC=AB·BCsinB=××1×=.当BC=2时,S△ABC=AB·BCsinB=××2×=.
9.解析 由S△ABC=BC·BAsinB=得BA=1,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,∴AC=,∴△ABC为直角三角形,其中A为直角,∴tanC==.10.等腰直角解析 由已知,得cosA-B+sinA+B=2,又|cosA-B|≤1,|sinA+B|≤1,故cosA-B=1且sinA+B=1,即A=B且A+B=90°.11.45°或135°解析 由a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2,得cos2C===⇒cosC=±.∴角C为45°或135°.12.45°解析 由正弦定理,=.∴=.∴sinB=cosB.∴B=45°.13.8解析 如图所示,在△PMN中,=,∴MN==32,∴v==8海里/小时.
14.解析 由b-ccosA=acosC,得b-c·=a·,即=,由余弦定理得cosA=.15.解 在△ACD中,∠DAC=α-β,由正弦定理,得=,∴AC=,∴AB=AE+EB=ACsinα+h=+h.16.解 1∵a=2bsinA,∴sinA=2sinB·sinA,∴sinB=.∵0B,∴B=30°.2∵a=3,c=5,B=30°.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=32+52-2×3×5×cos30°=
7.∴b=.17.解 1在△POC中,由余弦定理,得PC2=OP2+OC2-2OP·OC·cosθ=5-4cosθ,所以y=S△OPC+S△PCD=×1×2sinθ+×5-4cosθ=2sin+.2当θ-=,即θ=时,ymax=2+.答 四边形OPDC面积的最大值为2+.18.解
①需要测量的数据有A点到M、N点的俯角α
1、β1;B点到M、N点的俯角α
2、β2;A、B的距离d如图所示.
②第一步计算AM,由正弦定理AM=;第二步计算AN.由正弦定理AN=;第三步计算MN,由余弦定理MN=.19.解 1由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=
4.又因为△ABC的面积等于,所以absinC=,由此得ab=
4.联立方程组解得2由正弦定理及已知条件得b=2a.联立方程组解得所以△ABC的面积S=absinC=.20.解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理得=,∴=,∴CP=sinθ.又=,∴OC=sin60°-θ.因此△POC的面积为Sθ=CP·OCsin120°=·sinθ·sin60°-θ×=sinθsin60°-θ=sinθ=2sinθ·cosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-=sin-,∴θ=时,Sθ取得最大值为.。