还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高中数学第2章推理与证明基本知能检测新人教B版选修1-2
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.xx~xx学年度河北玉田县高二期中测试推理因为平行四边形对边平行且相等,而矩形是特殊的平行四边形,所以矩形的对边平行且相等,以上推理的方法是 A.归纳推理 B.类比推理C.演绎推理D.合情推理[答案] C[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理,当前提为真时,结论必然为真,上述推理是演绎推理.2.求证+.证明因为+和都是正数,所以为了证明+,只需证明+22,展开得5+25,即20,显然成立,所以不等式+.上述证明过程应用了 A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法[答案] B[解析] 根据证明过程可以看出符合执果索因的证法,故为分析法.3.给出下列三个类比结论
①abn=anbn与a+bn类比,则有a+bn=an+bn;
②logaxy=logax+logay与sinαβ类比,则有sinαβ=sinα+sinβ;
③a+b2=a2+2ab+b2与a+b2类比,则有a+b2=a2+2a·b+b
2.其中正确结论的个数是 A.0B.1C.2D.3[答案] B[解析] 只有
③正确,故选B.4.观察x2′=2x,x4′=4x3,cosx′=-sinx,由归纳推理可得若定义在R上的函数fx满足f-x=fx,记gx为fx的导函数,则g-x= A.fxB.-fxC.gxD.-gx[答案] D[解析] 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,所以g-x=-gx.5.设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为 A.8B.4C.1 D.[答案] B[解析] 32=3a·3b=3a+b,∴a+b=1+=+a+b=2++≥2+2=4当且仅当=即a=b时等号成立,故选B.6.a、b、c、d均为正实数,设S=+++,则下列判断中正确的是 A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4[答案] B[解析] 令a=b=c=d=1知S=+++=,因12,故选B.7.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是 A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角[答案] C[解析] 逻辑中“最多有n个”的反面是“至少有n+1个”,故选C.8.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为 A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-3[答案] A[解析] 由a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,故猜an=3n-
1.9.在十进制中,2004=4×100+0×101+0×102+2×103,那么在5进制逢5进1中数码2004折合成十进制为 A.29B.254C.602D.2004[答案] B[解析] 2004=4×50+0×51+0×52+2×53=
254.10.已知c1,a=-,b=-,则正确的结论是 A.abB.abC.a=bD.a、b大小不定[答案] B[解析] 如果ab,则--.∴+2,∴c+1+c-1+24c;即c矛盾,∴选B.11.观察下列等式1=1, 13=1,1+2=313+23=9,1+2+3=613+23+33=36,1+2+3+4=1013+23+33+43=100,1+2+3+4+5=1513+23+33+43+53=
225.……可以推测13+23+33+…+n3可表示为 A.nn+1B.n2n+12C.n2n-12D.n2n+12[答案] D[解析] 由1=129=3236=62100=102,…,知13+23+33+…+n3=1+2+3+…+n2=[]2=,故选D.12.如果函数fx对任意的实数x,存在常数M,使得不等式|fx|≤Mx恒成立,那么就称函数fx为有界泛函数,下面四个函数
①fx=1;
②fx=x2;
③fx=sinx+cosxx;
④fx=.其中属于有界泛函数的是 A.
①② B.
①③ C.
②④ D.
③④[答案] D[解析] ∵sinx+cosx=sinx+≤,∴存在常数M≥成立|sinx+cosx|≤M,∴|xsinx+cosx|≤Mx,即|fx|≤Mx成立,∴
③是有界泛函数;∵x2+x+1=x+2+≥,∴||≤,∴存在常数M≥,使≤Mx,即|fx|≤Mx成立,∴
④是有界泛函数,因此选D.
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上13.平面上,周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大.将这些结论类比到空间,可以得到的结论是______________________________________.[答案] 表面积一定的空间体中,球的体积最大[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”,“平面图形”类比成“空间体”,“面积”类比成“体积”,“圆”类比成“球”.14.已知fx=是奇函数,那么实数a的值等于__________.[答案] 1[解析] 因为fx=x∈R是奇函数,则f-x+fx=+=0,所以a=
1.15.已知数列{an},a1=,an+1=,则a
2、a
3、a
4、a5分别为______________,猜想an=____________.[答案] ,,, [解析] 每一项的分子相同,分母是从7开始的自然数.16.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为________.[答案] [解析] ∵{an}为等比数列,an0,a7=a6+2a5,∴a1q6=a1q5+2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=-1或
2.∵an0,∴q=
2.∵=4a1,∴a1qm-1·a1qn-1=16a,∴qm+n-2=16,即2m+n-2=24,∴m+n=6,∴+=m+n+=·5++≥,等号在=,即m=2,n=4时成立.
三、解答题本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本题满分12分已知a是整数,a2是偶数.求证a是偶数.[证明] 假设a不是偶数,即a是奇数,则设a=2n+1n∈Z.∴a2=4n2+4n+
1.∵4n2+n是偶数,∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,故假设错误,从而a一定是偶数.18.本题满分12分观察下列数表1,23,4567,89101112131415,……1此表第n行的最后一个数是多少?2此表第n行的各个数之和是多少?32008是第几行的第几个数?[解析] 1由表知,从第二行起每行的第一个数为偶数,所以第n+1行的第一个数为2n,第n行的最后一个数为2n-
1.2由1知第n-1行的最后一个数为2n-1-1,第n行的第一个数为2n-1,第n行的最后一个数为2n-
1.又观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求和公式得Sn==22n-3+22n-2-2n-
2.3因为210=1024211=2048,又第11行最后一个数为211-1=2047,所以2008是在第11行中,由等差数列的通项公式得2008=1024+n-1·1,所以n=985,所以2008是第11行的第985个数.19.本题满分12分已知a、b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,求证1a+b.[证明] ∵a3-b3=a2-b2,a≠b,∴a2+ab+b2=a+b.又∵a+b2=a2+2ab+b2a2+ab+b2=a+b,即a+b2a+b,且a0,b0,∴a+b
1.要证a+b,只需证3a+b4,即证3a+b24a+b,也就是要证3a+b24a2+ab+b2,即需证a-b
20.而a-b20显然成立,∴1a+b.20.本题满分12分先解答1,再通过结构类比解答2.1求证tanx+=;2设x∈R且fx+1=,试问fx是周期函数吗?证明你的结论.[解析] 1tanx+==.2fx是以4为其一个周期的周期函数.∵fx+2=fx+1+1===-,∴fx+4=fx+2+2=-=fx.∴fx是周期函数,其中一个周期为
4.21.本题满分12分已知fx=-x3-x+1x∈R.1求证y=fx是定义域上的减函数;2求证满足fx=0的实数根x至多只有一个.[证明] 1∵f′x=-3x2-1=-3x2+10x∈R,∴y=fx是定义域上的减函数.2假设fx=0的实数根x至少有两个,不妨设x1≠x2,且x
1、x2∈R,fx1=fx2=
0.∵y=fx在R上单调递减,∴当x1x2时,fx1fx2,当x1x2时,fx1fx2,这与fx1=fx2=0矛盾,故假设不成立,所以fx=0至多只有一个实数根.22.本题满分14分1已知x、y∈R,求证下列不等式
①x2+y2≥2;
②x2+y2≥2;
③x2+y2≥
2.2根据上述不等式,请你推出更一般的结论,并证明你的结论.[解析] 1证明
①x2+y2-2=x2+y2-x2-xy-y2=x2-xy+y2=2≥0,∴x2+y2≥
2.
②x2+y2-2=x2+y2-xy=x2-2xy+y2=x-y2≥0,∴x2+y2≥
2.
③x2+y2-2=x2+y2-=x-y2≥0,∴x2+y2≥
2.2一般的结论是已知x、y∈R,a、b都是正数,且a+b=1,则ax2+by2≥ax+by
2.证明∵a+b=1,∴a=1-b0,b=1-a
0.∵ax2+by2-ax+by2=a-a2x2-2abxy+b-b2y2=a1-ax2-2a1-axy+a1-ay2=a1-ax2-2xy+y2=a1-ax-y2,又∵a01-a0,x-y2≥0,∴ax2+by2-ax+by2≥0,即ax2+by2≥ax+by
2.。