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2019年高中数学第一章常用逻辑用语单元同步测试(含解析)新人教A版选修2-1
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若命题“如果p,那么q”为真,则 A.q⇒p B.綈p⇒綈qC.綈q⇒綈pD.綈q⇒p解析 p⇒q⇔綈q⇒綈p.答案 C2.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中真命题是 A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析 由数与向量的意义知,B正确.答案 B3.已知下列三个命题,其中真命题是
①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零;
②矩形的对角线垂直且平分;
③3≥
2.A.
①②B.
①③C.
②③D.
①答案 B4.下列说法正确的是
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.A.
①②B.
②③C.
③④D.
②③④答案 B5.下列命题中,真命题是 A.∀x∈R,x0B.如果x2,那么x1C.∃x∈R,x2≤-1D.∀x∈R,x2+1≠0答案 D6.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是 A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα=1,则α=解析 因为“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”,故选C.答案 C7.命题“∃数列{an},{bn}既是等差数列,又是等比数列” A.是特称命题并且是假命题B.是全称命题并且是假命题C.是特称命题并且是真命题D.是全称命题并且是真命题答案 C8.若函数fx,gx的定义域和值域都是R,则“fxgx,x∈R”成立的充要条件是 A.存在x0∈R,使得fx0gx0B.有无数多个实数x,使得fxgxC.对任意x∈R,都有fx+gxD.不存在实数x,使得fx≥gx答案 D9.已知命题p∀x∈R,sinx≥0,则下列说法正确的是 A.綈p是特称命题,且是真命题B.綈p是全称命题,且是假命题C.綈p是全称命题,且是真命题D.綈p是特称命题,且是假命题解析 命题p∀x∈R,sinx≥0是全称命题,且是假命题.所以綈p应为特称命题,且是真命题,故选A.答案 A10.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A11.下列选项中,说法正确的是 A.命题“若am2bm2,则ab”的逆命题是真命题B.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的否命题是真命题C.命题“p∨q”为真命题,则命题p和q均为真命题D.命题“∃x∈R,x2-x0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”解析 命题“若am2bm2,则ab”的逆命题是“若ab,则am2bm2”是假命题,故A错;命题“若a=-b,则|a|=|b|”的否命题是“若a≠-b,则|a|≠|b|”是假命题,故B错;命题“p∨q为真命题,则命题p和q均为真命题或p和q中一真一假”,故C错;D正确.答案 D12.给出命题p若“·0,则△ABC为锐角三角形”;命题q“实数a,b,c满足b2=ac,则a,b,c成等比数列”.那么下列结论正确的是 A.p且q与p或q都为真B.p且q为真而p或q为假C.p且q为假且p或q为假D.p且q为假且p或q为真解析 ∵·0⇒∠B为钝角,∴△ABC为钝角三角形,∴命题p为假.∵b2=acDa,b,c为等比数列如a=0,b=0,c=1∴命题q为假.故p∧q且p∨q均为假.答案 C
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上13.设α表示平面,a,b表示直线,给定下面四个命题
①a∥α,a⊥b⇒b⊥α;
②a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
③a⊥α,a⊥b⇒b∥α;
④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.其中正确命题的个数有________个.解析
①中b可能平行于α;
②正确;
③中b可能在α内;
④正确.答案 214.设命题p m2m;命题q对∀x∈R,x2+4mx+1≥0,p且q为真命题的充要条件是________.解析 m2m⇔mm-10⇔0m
1.若命题p为真,则0m1;对∀x∈R,x2+4mx+1≥0,则Δ=16m2-4≤0⇔-≤m≤.若命题q为真,则-≤m≤.因此p∧q为真⇔即0m≤.答案 0m≤15.“若x-1y+2≠0,则x≠1且y≠-2”的否命题是____________,逆否命题是____________.答案 若x-1y+2=0,则x=1,或y=-2若x=1,或y=-2,则x-1y+2=016.下列若干命题中,正确命题的序号是________.
①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+a-1y-a+7=0平行的充分不必要条件;
②△ABC中,若acosA=bcosB,则该三角形形状为等腰三角形;
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线;
④对于命题P∃x∈R使得x2-x+10,则綈p∀x∈R,均有x2-x+1≥
0.解析 对于
①,直线ax+2y+2a=0和直线3x+a-1y-a+7=0平行,则aa-1=6,解得a=3或a=-2,验证知,当a=3或a=-2时两直线平行.因此a=3是两直线平行的充分不必要条件,故
①正确;对于
②,在△ABC中,由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B⇒A=B或A+B=,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故
②不正确;易知
③正确;
④正确.答案
①③④
三、解答题本大题共6小题,满分70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.1能被6整除的数一定是偶数;2当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;3已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=1;4与同一直线平行的两个平面平行.解 1若一个数能被6整除,则这个数为偶数.它是真命题.2若+|b+2|=0,则a=1且b=-
2.它是真命题.3已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=
1.它是假命题.4若两个平面与同一直线平行,则这两个平面平行.它是假命题.18.12分写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题,并判断其真假.解 逆命题为“已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集”.由a2≥4b知,Δ=a2-4b≥
0.这说明抛物线y=x2+ax+b与x轴有交点,那么x2+ax+b≤0必有非空解集.故逆命题是真命题.19.12分1设集合M={x|y=log2x-2},P={x|y=},则“x∈M,或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件?2∀x∈R,不等式4mx2-2mx-10恒成立,求m的取值范围.解 1由题设知,M={x|x2},P={x|x≤3}.∴M∩P=23], M∪P=R.当x∈M,或x∈P时,x∈M∪P=Rx∈23]=M∩P.而x∈M∩P⇒x∈R.∴x∈M∩P⇒x∈M,或x∈P.故“x∈M,或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.2当m=0时,不等式4mx2-2mx-10,对x∈R恒成立.当m≠0时,不等式4mx2-2mx-10恒成立⇔⇔-4m
0.故∀x∈R,不等式4mx2-2mx-10恒成立,-4m≤
0.20.12分求证“a+2b=0”是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”的充要条件.证明 充分性当b=0时,∵a+2b=0,∴a=
0.此时直线ax+2y+3=0平行于x轴,直线x+by+2=0平行于y轴,它们互相垂直;当b≠0时,直线ax+2y+3=0的斜率k1=-,直线x+by+2=0的斜率k2=-.∵a+2b=0,∴k1·k2=·==-1,两直线互相垂直.必要性当两直线互相垂直且斜率都存在时,有k1k2=·==-1,∴a+2b=0;当两直线中有直线的斜率不存在,且互相垂直时,则b=0,且a=0,∴a+2b=
0.综上,“a+2b=0”是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”的充要条件.21.12分已知命题p对于m∈[-11],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q不等式x2+ax+20有解,若p∨q为真,且p∧q为假,求a的取值范围.解 ∵m∈[-11],∴∈[2,3].∵对m∈[-11],不等式a2-5a-3≥恒成立,可得a2-5a-3≥3,∴a≥6,或a≤-
1.故命题p为真时,a≥6,或a≤-
1.命题p为假时,-1<a<
6.又命题q x2+ax+20有解,∴Δ=a2-
80.∴a2,或a-
2.从而命题q为真时a2,或a-2,q为假时-2≤a≤
2.依题意p∨q为真,p∧q为假,∴p与q必有一真一假.当p真q假时,a的取值范围是-2≤a≤-1;当p假q真时,a的取值范围是2a
6.综上,a的取值范围是[-2,-1]∪[2,6.22.12分下图是函数y=x和y=3x2图象的一部分,其中x=x1,x2-1x10x2时两函数值相等.1给出如下两个命题
①当xx1时,x3x2;
②当xx2时,x3x2,试判定命题
①②的真假并说明理由.2求证x2∈01.解 1命题
①是假命题,可以举反例取x=-10,则xx1,但是-10=10243×-102=300,x3x2不成立;命题
②是真命题,∵函数y=x在[x2,+∞上是减函数,函数y=3x2在[x2,+∞上是增函数,∴当xx2时,xx2=3x3x
2.2证明构造函数fx=3x2-x,则f0=-10,f1=3-=0,∴fx在区间01内有零点.又∵fx=3x2-x在区间0,+∞上单调递增.∴fx在区间01内的零点唯一.∴x2∈01.。