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2019年高中数学第一章推理与证明综合检测北师大版选修2-2
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是 A.演绎推理 B.归纳推理C.类比推理D.以上都不对【解析】 由部分推断全体,是归纳推理.【答案】 B2.在数列1223334444,…中,第25项为 A.25 B.6C.7 D.8【解析】 将数列分组得1,22,333,4444,…,这样每一组的个数为1234,…;其和为,令n=6,则有=21,所以第25项在第7组,因此第25项是
7.【答案】 C3.证明1++++…+n+1n1,当n=2时,中间式等于 A.1B.1+C.1++D.1+++【解析】 中间的式子共有2n项,故n=2时,中间的式子等于1+++.【答案】 D4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是 A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解,仅有一解,和无解,故其否定为至少有三个解.【答案】 C5.已知c1,a=-,b=-,则正确的结论是 A.abB.abC.a=bD.a,b大小不定【解析】 a=,b=,显然ab.【答案】 B6.三角形的面积为S=a+b+cr,a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 A.V=abcB.V=ShC.V=S1+S2+S3+S4rS1,S2,S3,S4为四个面的面积,r为内切球的半径D.V=ab+bc+achh为四面体的高【解析】 设△ABC的内心为O,连接OA,OB,OC,将△ABC分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a,b,c;类比设四面体A-BCD的内切球的球心为O,连接OA,OB,OC,OD,将四面体分割为四个以O为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为r,所以有V=S1+S2+S3+S4r.【答案】 C7.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f1种走法,从平地上到第二级台阶时有f2种走法……则他从平地上到第n级n≥3台阶时的走法fn等于 A.fn-1+1B.fn-2+2C.fn-2+1D.fn-1+fn-2【解析】 要到达第n级台阶有两种走法1在第n-2级的基础上到达;2在第n-1级的基础上到达.【答案】 D8.已知fx=x3+x,a,b,c∈R,且a+b0,a+c0,b+c0,则fa+fb+fc的值一定 A.大于零B.等于零C.小于零D.正负都可能【解析】 fx=x3+x是奇函数且在R上是增函数,由a+b0,得a-b,故faf-b,可得fa+fb
0.同理fa+fc0,fb+fc
0.所以fa+fb+fc
0.【答案】 A9.xx·江西高考观察下列各式a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= A.28B.76C.123D.199【解析】 记an+bn=fn,则f3=f1+f2=1+3=4;f4=f2+f3=3+4=7;f5=f3+f4=
11.通过观察不难发现fn=fn-1+fn-2n∈N*,n≥3,则f6=f4+f5=18;f7=f5+f6=29;f8=f6+f7=47;f9=f7+f8=76;f10=f8+f9=
123.所以a10+b10=
123.【答案】 C10.数列{an}满足a1=,an+1=1-,则a2013等于 A.B.-1C.2D.3【解析】 ∵a1=,an+1=1-,∴a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,a5=1-=-1,a6=1-=2,∴an+3k=ann∈N*,k∈N*∴a2013=a3+3×670=a3=
2.【答案】 C
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上11.一个数列{an}的前n项为,,,,,….则猜想它的一个通项公式为an=________.【解析】 数列可写成,,,,,….猜想通项公式an=.【答案】 12.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n个图中有________个小正方形.图1【解析】 根据规律和第6个图形中有1+2+3+4+5+6+7=
28.第n个图形中有1+2+…+n+1=.【答案】 28 13.用反证法证明命题“若x2-a+bx+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为________.【解析】 就x是否等于a,b而言有四种情形
①x=a,x≠b;
②x≠a,x=b;
③x=a,x=b;
④x≠a,x≠b.故应假设x=a或x=b.【答案】 x=a或x=b14.已知等差数列{an}中,有=,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论________________.【解析】 根据等差、等比数列中运算的性质知在等比数列{bn}中会有=.【答案】 =
三、解答题本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分12分用反证法证明如果x,那么x2+2x-1≠
0.【证明】 假设x2+2x-1=0,则解得x1=-1,x2=--
1.又x1,x2,这与已知x矛盾.故假设不成立,x2+2x-1≠0成立.16.本小题满分12分试比较2n与n2n∈N*的大小关系,并用数学归纳法证明.【证明】 当n=1时,2112,即2nn2,当n=2时,22=22,即2n=n2,当n=3时,2332,即2nn2,当n=4时,24=42,即2n=n2,当n=5时,2552,即2nn2,当n=6时,2662,即2nn2,…猜测,当n≥5时,2nn
2.下面用数学归纳法证明猜测成立.
①当n=5时,由上可知猜测成立.
②设n=kk≥5时,命题成立,即2kk
2.∴2k+1=2·2k2k2=k2+k2k2+2k+1=k+12,即n=k+1时命题也成立.由
①和
②可得,n≥5时,2nn2n∈N*.17.本小题满分12分某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图2为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同,设第n个图形包含fn个小正方形.图21求出f5的值;2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn之间的关系式,并根据你得到的关系式求出fn的表达式;3求+++…+的值.【解】 1f5=
41.2因为f2-f1=4=4×1,f3-f2=8=4×2,f4-f3=12=4×3,f5-f4=16=4×4,…由以上规律,可得出fn+1-fn=4n,因为fn+1-fn=4n,所以fn+1=fn+4n,所以fn=fn-1+4n-1=fn-2+4n-1+4n-2=fn-3+4n-1+4n-2+4n-3=…=f[n-n-1]+4n-1+4n-2+4n-3+…+4[n-n-1]=2n2-2n+
1.3当n≥2时,==-,所以+++…+=1+1-+-+-+…+-=1+1-=-.18.本小题满分14分已知a、b、c>0,求证a3+b3+c3≥a2+b2+c2a+b+c.【证明】 ∵a、b、c>0,∴a2+b2≥2ab,∴a2+b2a+b≥2aba+b,∴a3+b3+a2b+ab2≥2aba+b=2a2b+2ab2,∴a3+b3≥a2b+ab
2.同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2,将三式相加得,2a3+b3+c3≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac
2.∴3a3+b3+c3≥a3+a2b+a2c+b3+b2a+b2c+c3+c2a+c2b=a2+b2+c2a+b+c.∴a3+b3+c3≥a2+b2+c2a+b+c.。