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2019年高中数学第一章立体几何初步双基限时练3(含解析)北师大版必修2
一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是 A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析 斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.答案 B2.如图所示的直观图中A′B′∥y′轴,B′C′∥A′D′∥x′轴,且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是 A.任意梯形B.直角梯形C.任意四边形D.平行四边形解析 由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形.答案 B3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图若O′B′=1,那么原△ABO的面积是 A.B.C.D.2解析 由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O′A′=2,∴S△AOB=×1×2=.答案 C
4.如图所示为等腰直角三角形,其中AB=AC=2,则△ABC的直观图的面积为 A.2B.C.D.2解析 △ABC的直观图如图所示,则S△A′B′C′=×2×1×sin45°=.答案 C5.已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,如图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是 A.ABB.ADC.BCD.AC解析 由斜二测画法,可知原三角形ABC为直角三角形,AC为斜边,D为BC的中点,故ACAD,故最长的线段为AC,故答案为D.答案 D6.已知等边三角形的边长为2,那么它的直观图的面积为 A.B.C.D.解析 如图
①②分别为平面图与直观图,由
②可知,A′B′=2,h′=C′O′sin45°=×=,S△A′B′C′=××2=.答案 C
二、填空题7.在一等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=45°,DC=2,AD=,建立如图所示的直角坐标系,其中O为AB的中点,则其直观图的面积为________.解析 由图可知AB=DC+2ADcos45°=4,EO=sin45°=1,其直观图如图所示,其中A′B′=4,C′D′=2,高h′=E′O′.sin45°=,∴SA′B′C′D′==.答案 8.一个水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为________.解析 由斜二测画法,知△ABC为直角三角形,AB===5,∴AB边上的中线为.答案 9.如图所示,ABCD为边长为2的正方形,其中B22,则在斜二测画法中,直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________.解析 在直观图中,A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形,B′到x′轴的距离为d=1×sin45°=.答案
三、解答题10.把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形.若S′R′=2,P′Q′=4,S′P′=2,S′R′∥P′Q′∥O′x′,P′S′∥O′y′,试求其真实图形PQRS的面积.解 由斜二测画法,知P′Q′∥O′x′,P′S′∥O′y′,R′S′∥O′x′.故PQ∥Ox,PS∥Oy,RS∥Ox,且PS=2P′S′,PQ=P′Q′,RS=R′S′.故真实图形如图所示.由上知PQ=P′Q′=4,SR=S′R′=2,SP=2S′P′=4,且四边形PQRS是直角梯形,其面积S=SR+PQ·SP=2+4×4=
12.11.已知正△ABC的边长为a,求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积.解 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,在图
②中,作C′D′⊥A′B′于点D′,则C′D′=O′C′=a,所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×a×a=a
2.12.画出长为5,宽为4,高为5的长方体的直观图.解 1画出x轴,y轴,z轴三轴相交于O点,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,∠yOz=90°.2在x轴上取OA=5,OC=2,过A作AB∥OC,过C作CB∥OA,则四边形OABC为下底面.3在z轴上取OO′=5,过O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′,重复2的步骤作出上底面O′A′B′C′.4连接AA′,BB′,CC′,OO′,即得到长方体OABC-O′A′B′C′的直观图.思维探究13.已知水平放置的三角形ABC是正三角形,其直观图的面积为a2,求△ABC的周长.解 图△ABC是△A′B′C′的原图形,设△ABC的边长为x,由斜二测画法,知A′B′=AB=x,O′C′=OC=x,作C′D′⊥A′B′,垂足为D′,∵∠C′O′D′=45°,∴C′D′=O′C′=×x=x,∴S△A′B′C′=A′B′×C′D′=x×x=x
2.∴x2=a2,∴x=2a,∴△ABC周长为3×2a=6a.。