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2019年高中数学第一章立体几何初步阶段检测卷(含解析)新人教B版必修2
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与面ABCD的对角线AC异面的棱有 A.4条 B.6条 C.8条 D.10条解析 与AC相交的直线有AB、AD、AA
1、CB、CD、CC1,其他6条均与AC异面.答案 B2.两个球的体积之和为12π,且这两个球的大圆周长之和为6π,那么这两个球的半径之差为 A.B.1C.2D.3解析 设两个球的半径分别为R与rRr则∴∴R-r=
1.答案 B
3.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定答案 A4.已知a、b、c、d是空间四条直线,如果a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么 A.a∥b,c∥dB.a、b、c、d中至少有一对直线互相平行C.a、b、c、d中至多有一对直线互相平行D.a、b、c、d中任何两条直线都不平行解析 当a与b相交或a与b异面时,c∥d;当a∥b时,c∥d或c与d异面.答案 B5.一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段,那么圆锥被分成的两部分的侧面积的比为 A.11B.12C.13D.14解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,由于截面过圆锥高的中点,截得小圆锥的母线长为,底面半径为,∴圆锥被分成的两部分的侧面积之比为=.答案 C6.若一个圆台的主视图如图所示,则其侧面积等于 A.6B.6πC.3πD.6π解析 圆台的侧面积S=πr1+r2l,其中r
1、r2是上、下底面半径,l是母线长,∴该圆台的侧面积为3π. 答案 C7.如图所示,则这个几何体的体积等于 A.4B.6C.8D.12解析 由三视图得几何体为四棱锥,如图记作S-ABCD,其中SA⊥面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且ABCD为直角梯形.∠DAB=90°,∴V=SA×AB+CD×AD=×2××2+4×2=4,故选A.答案 A8.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是 A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°解析 由于BD∥B1D1,易知BD∥平面CB1D1;连接AC,易证BD⊥面ACC1,所以AC1⊥BD;同理可证AC1⊥B1C,因BD∥B1D1,所以AC1⊥B1D1,所以AC1⊥平面CB1D1;对于选项D,∵BC∥AD,∴∠B1CB即为AD与CB1所成的角,此角为45°,故D错.答案 D
9.如图所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图斜二测,若A1D1∥y′轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是 A.10B.5C.5D.10解析 平面图形还原如图所示.CD=C1D1=3,AD=2A1D1=2,AB=A1B1=2,∠ADC=90°.∴SABCD=×2+3×2=
5.答案 B
10.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是 A.3B.4C.5D.6解析 如图
①所示,这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成,如图
②所示,这个几何体最小时有5个小正方体构成,因此,这个几何体的最大体积与最小体积的差是
6.答案 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分11.设m,n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题
①⇒β∥γ;
②⇒m⊥β;
③⇒α⊥β;
④⇒m∥α其中,真命题是________.解析 平行于同一个平面的两个平面平行,
①是真命题;若一个平面平行于另一个平面的垂线,则两个平面垂直,
③是真命题.答案
①③12.在一个半径为13cm的球内有一个截面,此截面面积是25πcm2,则球心到这个截面的距离为________.答案 12cm
13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分别为AA
1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________.解析 将三棱柱侧面、底面展开有三种情形,如下图.在1中,EF===;在2中,EF===;在3中,EF===.比较知3最小.答案
14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD=BD=,∠BAC=30°,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是________.
①当平面ABD⊥平面ABC时,C、D两点间的距离为;
②在三角板ABD转动过程中,总有AB⊥CD;
③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC的体积最大可达到.解析 取AB中点O,当三角板ABD转动的过程中,AB不垂直平面COD,故AB不垂直CD,故
②错,
①③正确.答案
①③
三、解答题本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.12分如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、F、G分别为MB、PC、PB的中点,且AD=PD=2MA.1求证平面EFG∥平面ADPM;2求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.解析 1证明∵F、G为PC、PB中点,∴FG∥BC,又BC∥AD,∴FG∥AD,∵E、G为BM、PB中点,∴EG∥PM,又EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面ADPM.2不妨设AB=2a,VP-MAB=a3,VP-ABCD=a3,所以=.16.12分如图,已知平面α⊥平面β,α∩β=PQ,A∈PQ,B∈α,C∈β,CA=CB,∠BAP=45°.证明BC⊥PQ.证明 如图,过C做CO⊥PQ交PQ于O,连接OB.∵α⊥β,∴CO⊥α.∵BO⊂α,∴CO⊥BO;在Rt△COA与Rt△COB中,CA=CB,CO=CO,∴Rt△COA≌Rt△COB.∴OA=OB.又∵∠BAP=45°,∴∠BOA=90°,即OB⊥PQ.∵PQ⊥OC,PQ⊥OB,OC∩OB=O,∴PQ⊥面OBC.∵BC⊂面OBC,∴PQ⊥BC.17.12分某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形如图.现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面蛋皮厚度忽略不计,求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积精确到
0.01.解 设圆锥底面半径为r,高为h,∵2πr=π·10,∴r=2,h==4,∴该蛋筒冰淇淋的表面积S=+2π·22=28π≈
87.96cm
2.体积V=×π·22×4+π×23=+1π≈
57.80cm
3.故该蛋筒冰淇淋的表面积约为
87.96cm2,体积约为57.80cm
3.18.14分如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,且BC=2AD,AB=4,SA=
3.1求证平面SBC⊥平面SAB;2若E、F分别为线段BC、SB上的一点端点除外,满足==λ.
①求证不论λ为何值,都有SC∥平面AEF;
②是否存在λ,使得△AEF为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的λ值;若不存在,说明理由.解 1证明∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥AD.∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB.∵SA∩AB=A,SA、AB⊂平面SAB,∴AD⊥平面SAB,∵AD∥BC,∴BC⊥平面SAB.∵BC⊂平面SBC,∴平面SBC⊥平面SAB.2
①证明∵在△SBC中,=,∴EF∥SC.∵EF⊂平面AEF,SC⊄平面AEF,∴SC∥平面AEF.
②当AF⊥SB时,由1知平面SAB⊥平面SBC,且平面SAB∩平面SBC=SB,∴AF⊥平面SBC.∵EF⊂平面SBC,∴AF⊥EF,∴此时△AEF为直角三角形.在Rt△SAB中,AB=4,SA=3,∴AF=.∴SF=,FB=,∴λ==.∴存在λ=时,△AEF为直角三角形.。