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2019年高中数学第一章解三角形单元同步测试(含解析)新人教A版必修5
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形解析 最大边AC所对角为B,则cosB==-0,∴B为钝角.答案 C2.在△ABC中,已知a=1,b=,A=30°,B为锐角,那么A,B,C的大小关系为 A.ABCB.BACC.CBAD.CAB解析 由正弦定理=,∴sinB==.∵B为锐角,∴B=60°,则C=90°,故CBA.答案 C3.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 A.4B.4C.4D.解析 由A+B+C=180°,可求得A=45°,由正弦定理,得b====
4.答案 C4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则·的值为 A.5B.-5C.15D.-15解析 在△ABC中,由余弦定理得cosB===.∴·=||·||cosB=5×7×=
5.答案 A5.若三角形三边长之比是12,则其所对角之比是 A.123B.12C.1D.2解析 设三边长分别为a,a2a,设最大角为A,则cosA==0,∴A=90°.设最小角为B,则cosB==,∴B=30°,∴C=60°.因此三角之比为
123.答案 A6.在△ABC中,若a=6,b=9,A=45°,则此三角形有 A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定解析 由=,得sinB===
1.∴此三角形无解.答案 A7.已知△ABC的外接圆半径为R,且2Rsin2A-sin2C=a-bsinB其中a,b分别为A,B的对边,那么角C的大小为 A.30°B.45°C.60°D.90°解析 根据正弦定理,原式可化为2R=a-b·,∴a2-c2=a-bb,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC==,∴C=45°.答案 B8.在△ABC中,已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为 A.1B.2C.D.解析 由===2R,又sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,可得a2+b2-ab=c
2.∴cosC==,∴C=60°,sinC=.∴S△ABC=absinC=.答案 D9.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为 A.B.C.D.解析 由余弦定理,得cosA=,解得AC=
3.由正弦定理==.答案 D
10.在三角形ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为 A.B.C.D.解析 由余弦定理,得cos∠BAC===-,∴∠BAC=.答案 A11.有一长为1km的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要加长 A.
0.5kmB.1kmC.
1.5kmD.km解析 如图,AC=AB·sin20°=sin20°,BC=AB·cos20°=cos20°,DC==2cos210°,∴DB=DC-BC=2cos210°-cos20°=
1.答案 B12.已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=c=+,且A=75°,则b为 A.2B.4+2C.4-2D.-解析 在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∵a=c,∴0=b2-2bccosA=b2-2b+cos75°,而cos75°=cos30°+45°=cos30°cos45°-sin30°sin45°==-,∴b2-2b+cos75°=b2-2b+·-=b2-2b=0,解得b=2,或b=0舍去.故选A.答案 A
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=4,则此三角形的最小边是____________.解析 由A+B+C=180°,得B=75°,∴c为最小边,由正弦定理,知c===4-1.答案 4-114.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=________.解析 由B=A+60°,得sinB=sinA+60°=sinA+cosA.又由b=2a,知sinB=2sinA.∴2sinA=sinA+cosA.即sinA=cosA.∵cosA≠0,∴tanA=.∵0°A180°,∴A=30°.答案 30°15.在△ABC中,A+C=2B,BC=5,且△ABC的面积为10,则B=________,AB=________.解析 由A+C=2B及A+B+C=180°,得B=60°.又S=AB·BC·sinB,∴10=AB×5×sin60°,∴AB=
8.答案 60° 816.在△ABC中,已知b+c c+a a+b=8910,则sinA sinBsinC=________.解析 设可得a bc=
1197.∴sinA sinBsinC=
1197.答案 1197
三、解答题本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分在非等腰△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=bb+c.1求证A=2B;2若a=b,试判断△ABC的形状.解 1证明在△ABC中,∵a2=b·b+c=b2+bc,由余弦定理,得cosB=====,∴sinA=2sinBcosB=sin2B.则A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,又A+B+C=π,∴B=C.这与已知相矛盾,故A=2B.2∵a=b,由a2=bb+c,得3b2=b2+bc,∴c=2b.又a2+b2=4b2=c
2.故△ABC为直角三角形.18.12分锐角三角形ABC中,边a,b是方程x2-2x+2=0的两根,角A,B满足2sinA+B-=
0.求1角C的度数;2边c的长度及△ABC的面积.解 1由2sinA+B-=0,得sinA+B=.∵△ABC为锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°.2∵a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,∴a+b=2,ab=
2.∴c2=a2+b2-2abcosC=a+b2-3ab=12-6=
6.∴c=.S△ABC=absinC=×2×=.19.12分如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求1A处与D处的距离;2灯塔C与D处的距离.解 1在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,AB=12,由正弦定理,得AD===24nmile.2在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos30°.解得CD=8nmile.∴A处与D处的距离为24nmile,灯塔C与D处的距离为8nmile.20.12分已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=a,b,n=sinB,sinA,p=b-2,a-2.1若m∥n,求证△ABC为等腰三角形;2若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.解 1证明∵m∥n,∴asinA=bsinB.由正弦定得知,sinA=,sinB=其中R为△ABC外接圆的半径,代入上式,得a·=b·,∴a=b.故△ABC为等腰三角形.2∵m⊥p,∴m·p=0,∴ab-2+ba-2=0,∴a+b=ab.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得4=a+b2-3ab,即ab2-3ab-4=
0.解得ab=4,ab=-1舍去.∴△ABC的面积S=absinC=×4×sin=.21.12分在△ABC中,已知内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y.1求函数y=fx的解析式和定义域;2求y的最大值.解 1△ABC的内角和A+B+C=π,由A=,B0,C0,得0B.应用正弦定理,得AC=·sinB=·sinx=4sinx.AB=sinC=4sin.∵y=AB+BC+CA,∴y=4sinx+4sin+
2.2y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++
2.∵x+,∴当x+=,即x=时,y取得最大值
6.22.12分△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=,sinB-A=cosC.1求A,C;2若S△ABC=3+,求a,c.解 1因为tanC=,即=,所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得sinC-A=sinB-C.所以C-A=B-C,或C-A=π-B-C不成立,即2C=A+B,得C=,所以B+A=.又因为sinB-A=cosC=,则B-A=,或B-A=舍去.得A=,B=.所以A=,C=.2S△ABC=acsinB=ac=3+,又=,即=.得a=2,c=
2.。