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2019年高中数学第一章解三角形双基限时练3(含解析)新人教A版必修51.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为 A. B.C.,或D.,或解析 由余弦定理,得cosB===,又0Bπ,∴B=.答案 A2.在△ABC中,AB=,A=45°,C=75°,则BC= A.3-B.C.2D.3+解析 由正弦定理,知=,∴BC===3-.答案 A3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于 A.105°B.60°C.15°D.105°,或15°解析 先用正弦定理求角C,由=,得sinC===.又ca,∴C=45°,或135°,故B=105°,或15°.答案 D4.已知三角形的三边之比为a bc=234,则此三角形的形状为 A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析 设三边长为2a3a4aa0,它们所对的三角形内角依次为A,B,C.则cosC==-0,∴C为钝角.故该三角形为钝角三角形.答案 B5.在△ABC中,下列关系中一定成立的是 A.absinAB.a=bsinAC.absinAD.a≥bsinA解析 在△ABC中,由正弦定理,知a=,∵0sinB≤1,∴a≥bsinA.答案 D6.△ABC中,已知2A=B+C,且a2=bc,则△ABC的形状是 A.两直角边不等的直角三角形B.顶角不等于90°,或60°的等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 解法1由2A=B+C,知A=60°.又cosA=,∴=∴b2+c2-2bc=
0.即b-c2=0,∴b=c.故△ABC为等边三角形.解法2验证四个选项知C成立.答案 C7.在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC的长为____________.解析 由A+B+C=180°,求得B=60°.∴=⇒BC===.答案 8.△ABC中,已知a=,c=3,B=45°,则b=________.解析 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=2+9-2××3×=5,∴b=.答案 9.在△ABC中,a=2,cosC=,S△ABC=4,则b=________.解析 ∵cosC=,∴sinC=.又S△ABC=absinC,∴4=×2×b×,∴b=
3.答案 310.在△ABC中,a+b=10,而cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值.解 解方程2x2-3x-2=0,得x1=-,x2=2,而cosC为方程2x2-3x-2=0的一个根,∴cosC=-.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=a2+b2+ab.∴c2=a+b2-ab=100-ab=100-a10-a=a2-10a+100=a-52+75≥75,∴当a=b=5时,cmin=
5.从而三角形周长的最小值为10+
5.11.在△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B为锐角,试判断此三角形的形状.解 ∵lgsinB=-lg,∴sinB=.又∵B为锐角,∴B=45°.∵lga-lgc=-lg,∴=.由正弦定理,得=.即2sin135°-C=sinC.∴2sin135°cosC-cos135°sinC=sinC.∴cosC=0,∴C=90°,∴A=B=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.12.a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sinB+sinC+sinAsinB+sinC-sinA=sinBsinC,边b和c是关于x的方程x2-9x+25cosA=0的两根bc.1求角A的正弦值;2求边a,b,c;3判断△ABC的形状.解 1∵sinB+sinC+sinAsinB+sinC-sinA=sinBsinC,由正弦定理,得b+c+ab+c-a=bc,整理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA==,∴sinA=.2由1知方程x2-9x+25cosA=0可化为x2-9x+20=0,解之得x=5或x=4,∵bc,∴b=5,c=
4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,∴a=
3.3∵a2+c2=b2,∴△ABC为直角三角形.。