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2019年高中数学第一章立体几何初步综合测试A新人教B版必修2
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1.xx·广西南宁高一期末测试用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”正确的是 A.A∈l,l⊄αB.A∈l,l∉αC.A⊂l,l∉αD.A⊂l,l⊄α[答案] A[解析] 点在直线上用“∈”表示,直线在平面外用“⊄”表示,故选A.2.xx·河北邢台一中高一月考若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 A.平面α内所有直线与l异面B.平面α内存在惟一的直线与l平行C.平面α内不存在与l平行的直线D.平面α内的直线都与l相交[答案] C[解析] ∵直线l不平行于平面α,且l⊄α,∴l与平面α相交,故平面α内不存在与l平行的直线.3.一长方体木料,沿图
①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD那么图
②四个图形中是截面的是 [答案] A[解析] 因为AB、MN两条交线所在平面侧面互相平行,故AB、MN无公共点,又AB、MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM.又AB⊥CD,∴截面必为矩形.4.xx·湖南永州市东安天成实验中学高一月考正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cm,则它的体积为 A.4cm3B.8cm3C.cm3D.3cm3[答案] D[解析] 设正方体的棱长为acm,则3a2=9,∴a=.则正方体的体积V=3=3cm3.5.xx·山东菏泽高一期末测试某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.2πB.4πC.πD.8π[答案] C[解析] 由三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱的一半,其体积V=×π×12×2=π.6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为 A. B. C. D.[答案] A[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,球的直径应等于正方体的棱长,故球的半径为R=,∴球的体积为V=πR3=π×3=.7.设α表示平面,a、b、l表示直线,给出下列命题,
①⇒l⊥α;
②⇒b⊥α;
③⇒a⊥α;
④直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.其中正确结论的个数为 A.0B.1C.2D.3[答案] A[解析]
①错,缺a与b相交的条件;
②错,在a∥α,a⊥b条件下,b⊂α,b∥α,b与α斜交,b⊥α都有可能;
③错,只有当b是平面α内任意一条直线时,才能得出a⊥α,对于特定直线b⊂α,错误;
④错,l只要与α内一条直线m垂直,则平面内与m平行的所有直线就都与l垂直,又l垂直于平面内的一条直线是得不出l⊥α的.8.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 [答案] B[解析] 可用排除法由正视图可把A,C排除,而由左视图把D排除,故选B.9.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是13,这截面把圆锥母线分为两段的比是 A.13B.1-1C.19D.2[答案] B[解析] 如图由题意可知,⊙O1与⊙O2面积之比为13,∴半径O1A1与OA之比为1,∴=,∴=.10.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F,则以下结论中错误的是 A.四边形BFD′E一定是平行四边形B.四边形BFD′E有可能是正方形C.四边形BFD′E有可能是菱形D.四边形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案] B[解析] 平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线BF∥D′E,同理BE∥D′F,故A正确.特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时,BE=ED′=BF=FD′,则四边形为菱形,其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD,∴选B.11.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,∠A=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在 A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部[答案] B[解析] ⇒平面ABC1⊥平面ABC,⇒H在AB上.12.如图1,在透明密封的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内已灌进一些水,固定容器底面一边BC于水平的地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的变化,有下列四个命题
①有水的部分始终呈棱柱形;
②水面四边形EFGH的面积不会改变;
③棱A1D1始终与水面EFGH平行;
④当点E、F分别在棱BA、BB1上移动时如图2,BE·BF是定值.其中正确命题的序号是 A.
①②③B.
①③④C.
③④D.
①②[答案] B[解析] 由于BC固定于水平地面上,∴由左右两个侧面BEF∥CGH,可知
①正确;又∵A1D1∥BC∥FG∥EH,∴
③正确;水的总量保持不变,总体积V=BE·BF·BC,∵BC一定,∴BE·BF为定值,故
④正确;水面四边形随着倾斜程度不同,面积随时发生变化,∴
②错.
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上13.用斜二测画法,画得正方形的直观图面积为18,则原正方形的面积为________.[答案] 72[解析] 由S直=S原,得S原=2S直=2×18=
72.14.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.[答案] 312[解析] 设球半径为a,则圆柱、圆锥、球的体积分别为πa2·2a,πa2·2a,πa
3.所以体积之比2πa3πa3πa3=2=31
2.15.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件其构成真命题其中l、m为不同直线,α、β为不重合平面,则此条件为________.
①⇒l∥α;
②⇒l∥α;
③⇒l∥α.[答案] l⊄α[解析]
①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l为平面α外的直线”,即“l⊄α”.它同样适合
②③,故填l⊄α.16.一块正方形薄铁片的边长为4cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形如图,用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________cm
3.[答案] π[解析] 据已知可得圆锥的母线长为4,设底面半径为r,则2πr=·4⇒r=1cm,故圆锥的高为h==cm,故其体积V=π·12=cm3.
三、解答题本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.本题满分12分圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.[解析] 圆台轴截面如图,设上、下底半径分别为x和3x,截得圆台的圆锥顶点为S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,∴SO=AO=3x,∴OO1=2x,又轴截面积为S=2x+6x·2x=392,∴x=7,∴高OO1=14,母线长l=OO1=14,∴圆台高为14cm,母线长为14cm,两底半径分别为7cm和21cm.18.本题满分12分xx·陕西汉中市南联中学高一期末测试在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E为棱CC1的中点.1求四棱锥E-ABCD的体积;2求证B1D1⊥AE;3求证AC∥平面B1DE.[解析] 1VE-ABCD=×1×2×2=.2∵BD⊥AC,BD⊥CE,CE∩AC=C,∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥AE1,又∵BD∥B1D1,∴B1D1⊥AE.3如图,取BB1的中点F,连接AF、CF、EF.则EF綊AD,∴四边形ADEF为平行四边形,∴AF∥DE.又CF∥B1E,AF∩CF=F,DE∩B1E=E,∴平面AFC∥平面B1DE,∴AC∥平面B1DE.19.本题满分12分如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于F.1证明PA∥平面EDB;2证明PB⊥平面EFD.[解析] 1如图,设AC交BD于O,连接EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.△PAC中,EO是中位线.∴PA∥EO,而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB.∴PA∥平面EDB.2∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC.由PD=DC知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC
①又由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC,而DE⊂面PDC,∴BC⊥DE
②由
①和
②推得DE⊥平面PBC,而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=F,所以PB⊥平面EFD.20.本题满分12分如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA
1、AC的中点.1求证MN∥平面BCD1A1;2求证MN⊥C1D;3求VD-MNC
1.[解析] 1连接A1C,在△AA1C中,M、N分别是AA
1、AC的中点,∴MN∥A1C.又∵MN⊄平面BCA1D1且A1C⊂平面BCD1A1,∴MN∥平面BCD1A
1.2∵BC⊥平面CDD1C1,C1D⊂平面CDD1C1,∴BC⊥C1D.又在平面CDD1C1中,C1D⊥CD1,BC∩CD1=C,∴C1D⊥平面BCD1A1,又∵A1C⊂平面BCD1A1,∴C1D⊥A1C,又∵MN∥A1C,∴MN⊥C1D.3∵A1A⊥平面ABCD,∴A1A⊥DN,又∵DN⊥AC,∴DN⊥平面ACC1A1,∴DN⊥平面MNC
1.∵DC=2,∴DN=CN=,∴NC=CC+CN2=6,MN2=MA2+AN2=1+2=3,MC=A1C+MA=8+1=9,∴MC=MN2+NC,∴∠MNC1=90°,∴S△MNC1=MN·NC1=××=,∴VD-MNC1=·DN·S△MNC1=··=
1.21.本题满分12分xx·山东文,18如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E、F分别为线段AD、PC的中点.1求证AP∥平面BEF;2求证BE⊥平面PAC.[解析] 1证明如图所示,连接AC交BE于点O,连接OF.∵E为AD中点,BC=AD,AD∥BC,∴四边形ABCE为平行四边形.∴O为AC的中点,又F为PC中点,∴OF∥AP.又OF⊂面BEF,AP⊄面BEF,∴AP∥面BEF.2由1知四边形ABCE为平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCE为菱形.∴BE⊥AC.由题意知BC綊AD=ED,∴四边形BCDE为平行四边形.∴BE∥CD.又∵AP⊥平面PCD,∴AP⊥CD.∴AP⊥BE.又∵AP∩AC=A,∴BE⊥面PAC.22.本题满分14分xx·广东文,18如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图2折叠,折痕EF∥DC.其中点E、F分别在线段PD、PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.1证明CF⊥平面MDF;2求三棱锥M-CDE的体积.[解析] 1如图PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD,又CF⊥MF,MD,MF⊂平面MDF,MD∩MF=M,∴CF⊥平面MDF.2∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,又易知∠PCD=60°,∴∠CDF=30°,从而CF=CD=,∵EF∥DC,∴=,即=,∴DE=,∴PE=,S△CDE=CD·DE=,MD====,∴VM-CDE=S△CDE·MD=××=.。