还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高中数学第三章导数及其应综合检测新人教B版选修1-1
一、选择题本大题共10小题,每小题5分共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设质点M按规律s=3t2+5作直线运动,则质点M A.在t=1时的瞬时速度为11B.在t=2时的瞬时速度为12C.在t=3时的瞬时速度为13D.在t=4时的瞬时速度为17【解析】 瞬时速度v=s′=6t,当t=2时,s′2=
12.【答案】 B2.xx·临沂高二检测已知p函数y=fx的导函数是常函数;q函数y=fx是一次函数,则p是q的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 pq,因为当fx是常函数时,其导函数也为常函数;q⇒p,故p是q的必要不充分条件.【答案】 B3.函数y=x2cosx的导数为 A.y′=2xcosx-x2sinx B.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx-2xsinxD.y′=xcosx-x2sinx【解析】 f′x=x2′cosx+x2cosx′=2xcosx-x2sinx.【答案】 A4.函数y=3x-x3的单调递增区间是 A.0,+∞B.-∞,-1C.-11D.1,+∞【解析】 y′=3-3x2,令y′>0得x∈-11.【答案】 C5.xx·济宁高二检测若曲线fx=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 A.13B.-13C.10D.-10【解析】 f′x=4x3-1,设Px0,y0,则f′x0=4x-1=
3.∴x0=1,y0=f1=1-1=0,∴点P的坐标为10.【答案】 C6.xx·烟台高二检测三次函数fx=mx3-x在-∞,+∞上是减函数,则m的取值范围是 A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤1【解析】 f′x=3mx2-1,由题意f′x≤0在R上恒成立,所以∴m<
0.【答案】 A7.已知函数fx在定义域R上是增函数,且fx<0,则gx=x2fx的单调情况一定是 A.在-∞,0上递增B.在-∞,0上递减C.在R上递减D.在R上递增【解析】 g′x=2x·fx+x2f′x,由于fx在R上是增函数,∴f′x>0,又fx<0,∴当x<0时,g′x>
0.∴gx在-∞,0上递增.【答案】 A8.设函数fx=2x+-1x<0,则fx A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数【解析】 f′x=2-=,方程f′x=0在x<0内有解,当x=-时,f′x=0,当x<-时,f′x>0;当-<x<0时,f′x<
0.故fx在x=-时有极大值,也是最大值.【答案】 A9.xx·天津高二检测下列图象中,有一个是函数fx=x3+ax2+a2-1x+1a∈R,a≠0的导数f′x的图象,则f-1的值为 1 2 3图1A.B.-C.D.-或【解析】 f′x=x2+2ax+a2-1,其图象开口向上,故不是图1,在图2中,a=0,f′x=x2-1,但已知a≠0,故f′x的图象应为图3,∴f′0=0,∴a=±1,又其对称轴在y轴右侧,故a=-1,∴fx=x3-x2+1,∴f-1=-.【答案】 B10.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q单位件与零售价P单位元有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为毛利润=销售收入-进货支出 A.30元B.60元C.28000元D.23000元【解析】 设毛利润为LP,由题意知LP=PQ-20Q=QP-20=8300-170P-P2P-20=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′P=-3P2-300P+
11700.令L′P=0,解得P=30或-130舍.此时L30=23000,因为在P=30附近的左侧L′P>0,右侧L′P<
0.所以L30是极大值也是最大值.【答案】 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上11.函数fx=ex·cosx,x∈[02π],若f′x=0,则x=________.【解析】 f′x=ex-sinx+excosx=excosx-sinx,令f′x=0得cosx-sinx=0,∴cosx=sinx.∴x=或π.【答案】 或π12.若函数fx=x3-f′1x2+2x-5,则f′2=________.【解析】 ∵f′x=3x2-2f′1x+2,∴f′1=3-2f′1+2,∴f′1=.因此f′2=12-4f′1+2=.【答案】 13.函数fx=x+2cosx在区间[0,]上的最大值是________.【解析】 由fx=x+2cosx,得f′x=1-2sinx,当0≤x≤时,0≤sinx<,∴f′x>
0.∴fx在[0,]上是增函数,∴函数fx在区间上的最大值fxmax=f=+2cos.【答案】 +2cos14.xx·济南高二检测已知y=fx是定义在R上的奇函数,且当x>0时不等式fx+xf′x<0成立,若a=
30.3·f
30.3,b=logπ3·flogπ3,c=log3·flog3,则a,b,c的大小关系是________.【解析】 构造函数gx=xfx,则gx为偶函数,且在0,+∞上递减,a=g
30.3,b=glogπ3,c=glog3=glog39,∵log39>
30.3>logπ3>0,∴c<a<b.【答案】 c<a<b
三、解答题本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.本小题满分12分已知二次函数fx满足
①在x=1时有极值;
②图象过点0,-3,且在该点处的切线与2x+y=0平行.1求fx的解析式;2求函数gx=fx+1的单调递增区间.【解】 1设fx=ax2+bx+c,则f′x=2ax+b.由题设可得即解得所以fx=x2-2x-
3.2gx=fx+1=x+12-2x+1-3=x2-
4.令g′x=2x>0,得x>
0.故gx的单调递增区间为0,+∞.16.本小题满分12分若函数fx=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取极值.1求a,b的值;2求在上的最大值和最小值.【解】 1f′x=2ax+2+,∴f′1=f′2=
0.即解得2由1知,fx=-x2+2x-lnx,∵fx在x=1和x=2时取极值,x=是区间一个端点,且f2=-ln2,f1=,f=-+1-ln=+ln2,∴函数fx的最小值fxmin=f1=,最大值fxmax=f=+ln
2.17.本小题满分12分已知函数fx=x3+2x2+x-4,gx=ax2+x-
8.1求函数fx的极值;2若对任意x∈[0,+∞都有fx≥gx,求实数a的取值范围.【解】 1f′x=3x2+4x+1,令f′x=0,解得x=-1或x=-.∵当x∈-∞,-1时,f′x>0,fx为增函数;当x∈-1,-时,f′x<0,fx为减函数;当x∈-,+∞时,f′x>0,fx为增函数.∴当x=-1时,fx取得极大值-4,当x=-时,fx取得极小值-.2设Fx=fx-gx=x3+2-ax2+4,∵Fx≥0在[0,+∞上恒成立,∴[Fx]min≥0,x∈[0,+∞.若2-a≥0,显然[Fx]min=F0=4>0;若2-a<0,F′x=3x2+4-2ax,令F′x=0,解得x=0或x=.当0<x<时,F′x<0;当x>时,F′x>0,∴当x∈0,+∞时,[Fx]min=F≥0,即3+2-a2+4≥
0.解不等式得a≤5,∴2<a≤
5.当x=0时,Fx=4满足题意.综上所述,a的取值范围为-∞,5].18.本小题满分14分已知函数fx=ax+lnxa∈R.1若a=2,求曲线y=fx在x=1处切线的斜率;2求fx的单调区间;3设gx=x2-2x+2,若对任意x1∈0,+∞,均存在x2∈
[01],使得fx1<gx2,求a的取值范围.【解】 1由已知,当a=2时,fx=2x+lnx,f′x=2+x>0,f′1=2+1=
3.故曲线y=fx在x=1处切线的斜率为
3.2f′x=a+=x>0.
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′x>0,所以,fx的单调递增区间为0,+∞;
②当a<0时,由f′x=0,得x=-.在区间0,-上,f′x>0,在区间-,+∞上f′x<0,所以,函数fx的单调递增区间为0,-,单调递减区间为-,+∞.综上所述,当a≥0时,fx的单调递增区间为0,+∞;当a<0时,fx的单调递增区间为0,-,单调递减区间为-,+∞.3由已知,转化为fxmax<gxmax=g0=2,由2知,当a≥0时,fx在0,+∞上单调递增,值域为R,故不符合题意.或者举出反例存在fe3=ae3+3>2,故不符合题意当a<0时,fx在0,-上单调递增,在-,+∞上单调递减,故fx的极大值即为最大值,f-=-1+ln=-1-ln-a,所以2>-1-ln-a,解得a<-.综上,a的取值范围是-∞,-.。