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2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程双基限时练13(含解析)新人教A版选修2-11.双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为02,则双曲线C的方程为 A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1解析 依题意a+b=c,a=2,又a2+b2=c2,解得b=2,又焦点在y轴上,∴双曲线方程为-=
1.答案 B2.双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 A.2B.C.D.解析 依题意知,双曲线的渐近线方程为y=±x,∴a=b,∴c2=2a2,∴=2,∴e=.答案 C3.已知双曲线-=1和椭圆+=1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析 记e1=,e2=,又e1·e2=1,∴=1,化简得b2m2-a2-b2=0,∵b20,∴m2-a2-b2=0,即m2=a2+b2,∴以a,b,m为边长的三角形一定是直角三角形.答案 B4.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x,则双曲线方程为 A.x2-y2=96B.y2-x2=100C.x2-y2=80D.y2-x2=24解析 由题意知,c==4,a=b,∴2a2=c2=48,∴a2=24,故所求双曲线方程为y2-x2=
24.答案 D5.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 A.B.C.D.5解析 由双曲线的定义及性质知,动点P的轨迹是双曲线的一支,且A,B为焦点,c=2,a=,∴|PA|的最小值为a+c=.答案 C6.已知双曲线-=1的离心率为,则n=________.解析 依题意知a2=n,b2=12-n,又e=,∴e2====3,∴n=
4.答案 47.过双曲线-=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|=________.解析 由双曲线的定义知|MF2|-|MF1|=4,|NF2|-|NF1|=4,∴|MF2|+|NF2|-|MF1|-|NF1|=|MF2|+|NF2|-|MN|=
8.答案 88.若双曲线+=1的离心率为2,则k的值为__________.解析 依题意知k+40,∴k-4,又e==2,∴e2===4,∴k=-
31.答案 -319.求与双曲线-=1共渐近线且过点A2,-3的双曲线方程.解 设与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程为-=λλ≠0.∵A2,-3在双曲线上,∴λ=-=-.∴所求双曲线方程为-=-即-=
1.10.求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点M34且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程.解 当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为-=1,∵点34在双曲线上,∴-=1,又b=2a,∴4a2=9×4-16=20,a2=
5.∴b2=
20.∴双曲线方程为-=
1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为-=1,∵点34在双曲线上,∴-=
1.又∵b=2a,∴4a2=16×4-9=55,a2=,∴b2=
55.∴双曲线方程为-=
1.综上,所求双曲线方程为-=1或-=
1.11.已知双曲线的中心在原点,顶点在y轴上,两顶点间的距离是16,且离心率e=,试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离.解 设双曲线方程为-=1a0,b0,由2a=16,得a=8,又e==,∴c=10,b2=c2-a2=
36.故所求的双曲线的方程为-=
1.由上可得双曲线的焦点为0,±10,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=
0.∴焦点到渐近线的距离为d==
6.12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.1求双曲线方程;2若点M3,m在双曲线上,求证·=0;3求△F1MF2的面积.解 1∵e=.∴可设双曲线方程为x2-y2=λλ≠0.∵过点4,-,∴λ=16-10=
6.∴双曲线的方程为x2-y2=
6.2由1可知,双曲线中a=b=,∴c=
2.∴F1-2,0,F22,0.∴=-2-3,-m,=2-3,-m.∴·=3+23-2+m2=-3+m
2.∵M在双曲线上,∴9-m2=6,∴-3+m2=
0.∴·=
0.3△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=×4×=
6.。