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2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程综合检测苏教版选修2-1
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上1.xx·大连高二检测双曲线-=1的渐近线方程是________.【解析】 由题意知双曲线焦点在x轴上a=3,b=2,∴渐近线方程y=±x.【答案】 y=±x2.已知抛物线C与椭圆+=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是________.【解析】 ∵抛物线的焦点为±10,∴抛物线的方程为y2=±4x.【答案】 y2=±4x3.xx·合肥高二检测方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围是________.【解析】 a-12a2,a2-2a+1a2,a,又∵a-12≠0,a2≠0,∴a∈-∞,0∪0,.【答案】 -∞,0∪0,4.以-=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________.【解析】 对于双曲线a1=2,c1=4,∴对于椭圆a2=4,c2=2,∴椭圆方程为+=
1.【答案】 +=15.过已知点P30且与抛物线x2=4y只有一个公共点的直线有________条.【解析】 数形结合知有两条切线,一条对称轴的平行线.【答案】 36.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标为04,则实数k的值为________.【解析】 椭圆方程可化为+=1k>0.∴c2=-=16,∴k=.【答案】 7.xx·广东高考改编已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F30,离心率等于,则C的方程是________.【解析】 右焦点为F30说明两层含义双曲线的焦点在x轴上;c=
3.又离心率为=,故a=2,b2=c2-a2=32-22=5,故C的方程为-=
1.【答案】 -=18.下列双曲线中离心率为的是________.
①-=1;
②-=1;
③-=1;
④-=
1.【解析】 由e=得=,即1+=,=,则只有
②正确.【答案】
②9.xx·全国新课标改编等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,AB=4,则C的实轴长为________.【解析】 设等轴双曲线方程为x2-y2=mm0,抛物线的准线为x=-4,由AB=4,则|yA|=2,把坐标-42代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,所以双曲线方程为x2-y2=4,即-=1,所以a2=4,a=2,所以实轴长2a=
4.【答案】 4图110.xx·福建高考改编如图1,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E x2=2pyp0上,则抛物线E的方程为________.【解析】 依题意知,OB=8,∠BOy=30°.设Bx,y,则x=OBsin30°=4,y=OBcos30°=
12.因为点B4,12在抛物线E x2=2pyp0上,所以42=2p×12,解得p=
2.故抛物线E的方程为x2=4y.【答案】 x2=4y11.xx·苏锡常镇四市检测如图2,已知椭圆的方程为+=1ab0,A为椭圆的左顶点,B,C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆的离心率等于________.图2【解析】 由BC,OA平行且相等及椭圆的对称性,可得点C的横坐标为.由∠COx=∠OAB=30°,得C,,代入椭圆的方程得+=1,即a2=9b2,则c2=a2-b2=8b2,故椭圆的离心率e====.【答案】 12.已知动圆P与定圆C x+22+y2=1相外切,又与定直线l x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是________.【解析】 由抛物线定义知点P的轨迹是以-20为焦点,直线x=2为准线的抛物线,故点P的轨迹方程是y2=-8x.【答案】 y2=-8x13.xx·安徽高考已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.【解析】 设Cx,x2,由题意可取A-,a,B,a,则=--x,a-x2,=-x,a-x2,由于∠ACB=,所以·=--x-x+a-x22=0,整理得x4+1-2ax2+a2-a=0,即y2+1-2ay+a2-a=0,所以解得a≥
1.【答案】 [1,+∞14.老师在黑板上画出了一条曲线,让四名同学各回答一条性质,他们回答如下甲曲线的对称轴为坐标轴;乙曲线过点01;丙曲线一个焦点为30;丁曲线的一个顶点为20.其中有一名同学回答是错误的,请写出该曲线的方程________.只需写出一个方程即可【解析】 当乙错时,则曲线可以为双曲线,c=3,a=2,∴b2=9-4=5,方程为-=
1.当丙错误时,曲线可以为椭圆,其中a=2,b=1,方程为+y2=
1.当丁错误时,曲线可以为椭圆,其中c=3,b=1,∴a2=c2+b2=10,方程为+y2=
1.【答案】 +y2=1或+y2=1或-=1只需写出一个方程即可
二、解答题本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分xx·西安高二检测若椭圆经过M-2,和N12,求椭圆的标准方程.【解】 设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n,因为椭圆过M-2,,N12,所以有,得.所求椭圆方程为+=
1.16.本小题满分14分xx·安徽高考如图3,F
1、F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.1求椭圆C的离心率;2已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.图3【解】 1由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=.2法一 a2=4c2,b2=3c2,直线AB的方程为y=-x-c,将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得Bc,-c,所以S△AF1B=|F1F2|yA-yB=c2=40,∴c=5,故a=10,b=
5.法二 设AB=t.因为AF2=a,所以BF2=t-a.由椭圆定义BF1+BF2=2a可知,BF1=3a-t,再由余弦定理3a-t2=a2+t2-2atcos60°可得,t=a.由S△AF1B=a·a·=a2=40知,a=10,b=
5.17.本小题满分14分已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,,求抛物线的方程和双曲线的方程.【解】 依题意,设抛物线的方程为y2=2pxp0,∵点P,在抛物线上,∴6=2p×,解得2p=4,∴所求抛物线的方程为y2=4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x=-1上,∴c=1,则a2+b2=1,又点P,在双曲线上,∴-=1,解方程组得或∴所求双曲线的方程为4x2-y2=
1.18.本小题满分16分xx·广东高考在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1+=1ab0的左焦点为F1-10,且点P01在C1上.1求椭圆C1的方程;2设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2y2=4x相切,求直线l的方程.【解】 1因为椭圆C1的左焦点为F1-1,0,所以c=
1.将点P01代入椭圆方程+=1,得=1,即b=1,所以a2=b2+c2=
2.所以椭圆C1的方程为+y2=
1.2由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得1+2k2x2+4kmx+2m2-2=
0.因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-41+2k22m2-2=
0.整理得2k2-m2+1=
0.
①由消去y并整理得k2x2+2km-4x+m2=
0.因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=2km-42-4k2m2=0,整理得km=
1.
②综合
①②,解得或所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.19.本小题满分16分设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=.已知点P0,到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆的方程.【解】 设椭圆方程为+=1ab0,Mx,y为椭圆上的点,由=得a=2b.∴PM2=x2+y-2=-3y+2+4b2+3-b≤y≤b,若b,则当y=-b时,PM2最大,即b+2=7,则b=-,故舍去.若b≥时,则当y=-时,PM2最大,即4b2+3=7,解得b2=
1.∴所求方程为+y2=
1.20.本小题满分16分已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点,1若以AB线段为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;2是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=x对称?说明理由.【解】 1联立方程,消去y得3-a2x2-2ax-2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,那么由于以AB线段为直径的圆经过原点,那么⊥,即x1x2+y1y2=
0.所以x1x2+ax1+1ax2+1=0,得到a2+1×+a×+1=0,a26,解得a=±
1.2假定存在这样的a,使Ax1,y1,Bx2,y2关于直线y=x对称.那么,两式相减得3x-x=y-y,从而=.*因为Ax1,y1,Bx2,y2关于直线y=x对称,所以代入*式得到-2=6,矛盾.也就是说不存在这样的a,使Ax1,y1,Bx2,y2关于直线y=x对称.。