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2019年高中数学第二章平面向量双基限时练21(含解析)北师大版必修4
一、选择题1.下列命题
①a+-a=0;
②a+b+c=a+b+c;
③a·b·c=a·b·c;
④a+b·c=a·c+b·c.其中正确命题的个数是 A.0个 B.1个C.2个D.3个解析 正确的有
②④.答案 C2.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·a+2b= A.4 B.3 C.2 D.0解析 ∵a∥b,则b=λa,λ∈R.∴c·a+2b=c·a+2λa=c·a1+2λ.∵a⊥c,∴a·c=
0.∴c·a+2b=
0.答案 D3.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则·的值为 A.1B.-1C.2D.-2解析 ·=·-=·-2=-||2=-
1.答案 B4.平面向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|等于 A.B.2C.4D.12解析 a+2b2=a2+4b2+4a·b=4+4+4×2×1×=
12.∴|a+2b|=
2.答案 B5.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角θ为 A.150°B.120°C.60°D.30°解析 |a|=|b|=|c|且a+b=c,得|a+b|=|b|,平方得|a|2+|b|2+2ab=|b|2⇒2ab=-|a|2⇒2|a|·|b|·cosθ=-|a|2⇒cosθ=-⇒θ=120°.答案 B6.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是 A.B.C.D.解析 |a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则|a|2-4a·b≥
0.设向量a,b的夹角为θ,所以cosθ=≤=.所以θ∈.故选B.答案 B7.在△OAB中,=a,=b,是AB边上的高,若=λ,则λ等于 A.B.C.D.解析 由题意知·=0,即·+=0,∴·+λ=0,∴λ=-=-=,故选B.答案 B
二、填空题8.已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,则实数k的值为________.解析 由a·b=0,得k-2+1-2k×=0,得k=.答案 9.已知|a|=3,a·b=2,则b在a方向上的射影为________.解析 =.答案 10.若·+2=0,则△ABC为________三角形.解析 由·+2=0,得·+=0,即·=0,∴⊥,故三角形为直角三角形.答案 直角
三、解答题11.已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.解 要使向量a+kb与a-kb互相垂直,则要满足a+kb·a-kb=0,即a+kb·a-kb=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=9-16k2=0,解得k=±.∴当k=±时,向量a+kb与a-kb互相垂直.12.已知|a|=4,|b|=3,2a-3b·2a+b=
61.1求a与b的夹角θ;2求|a+b|与|a-b|.解 1设a与b的夹角为θ,由2a-3b·2a+b=61,得4a2-3b2-4a·b=61,即64-27-4×4×3cosθ=61,得cosθ=-,又θ∈[0,π],∴θ=π.2|a+b|====;|a-b|====.13.如图所示,以△ABC两边AB,AC为边向外作正方形ABGF,ACDE,M为BC的中点.求证AM⊥EF.证明 因为M是BC的中点,所以=+,=-,所以·=+·-=·+·-·-·=0+·-·-0=·-·=[||·||cos90°+∠BAC-||||·cos90°+∠BAC]=0,所以⊥,即AM⊥EF.。