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2019年高中数学第二章平面向量章末综合检测(A)新人教A版必修4
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.与向量a=1,的夹角为30°的单位向量是 A.,或1,B.,C.01D.01或,2.设向量a=10,b=,,则下列结论中正确的是 A.|a|=|b|B.a·b=C.a-b与b垂直D.a∥b3.已知三个力f1=-2,-1,f2=-32,f3=4,-3同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于 A.-1,-2B.1,-2C.-12D.124.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于 A.0B.2+C.D.25.若a与b满足|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,则a·a+a·b等于 A.B.C.1+D.26.若向量a=11,b=1,-1,c=-12,则c等于 A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b7.若向量a=11,b=25,c=3,x,满足条件8a-b·c=30,则x= A.6B.5C.4D.38.向量=4,-3,向量=2,-4,则△ABC的形状为 A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形9.设点A
12、B35,将向量按向量a=-1,-1平移后得到为 A.12B.23C.34D.4710.若a=λ,2,b=-35,且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是 A.B.C.D.11.在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于 A.2B.-2C.||cosAD.与菱形的边长有关12.如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 A.·B.·C.·D.·题号123456789101112答案
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量a=2,-1,b=-1,m,c=-12,若a+b∥c,则m=________.14.已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.15.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知2a+3b⊥ka-4b,则实数k的值为________.
16.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则+·的最小值是________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知a,b,c在同一平面内,且a=12.1若|c|=2,且c∥a,求c;2若|b|=,且a+2b⊥2a-b,求a与b的夹角.18.12分已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数k为何值时,1c∥d;2c⊥d.19.12分已知|a|=1,a·b=,a-b·a+b=,求1a与b的夹角;2a-b与a+b的夹角的余弦值.20.12分在平面直角坐标系xOy中,已知点A-1,-2,B23,C-2,-1.1求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;2设实数t满足-t·=0,求t的值.21.12分已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证1BE⊥CF;2AP=AB.22.12分已知向量、、满足条件++=0,||=||=||=
1.求证△P1P2P3是正三角形.第二章 平面向量A答案1.D
2.C3.D [根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0,∴f4=-f1+f2+f3=12.]4.D [|a+b+c|=|++|=|2|=2||=
2.]5.B [由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos60°=1+=,故选B.]6.B [令c=λa+μb,则 ∴∴c=a-b.]7.C [∵a=11,b=25,∴8a-b=88-25=63.又∵8a-b·c=30,∴63·3,x=18+3x=
30.∴x=
4.]8.C [∵=4,-3,=2,-4,∴=-=-2,-1,∴·=21·-24=0,∴∠C=90°,且||=,||=2,||≠||.∴△ABC是直角非等腰三角形.]9.B [∵=35-12=23,平移向量后得,==23.]10.A [a·b=-3λ+100,∴λ.当a与b共线时,=,∴λ=.此时,a与b同向,∴λ.]11.B [如图,设对角线AC与BD交于点O,∴=+.·=·+=-2+0=-2,故选B.]12.A [根据正六边形的几何性质.〈,〉=,〈,〉=,〈,〉=,〈,〉=.∴·0,·=0,·=||·||cos=||2,·=||·2||·cos=||
2.比较可知A正确.]13.-1解析 ∵a=2,-1,b=-1,m,∴a+b=1,m-1.∵a+b∥c,c=-12,∴2--1·m-1=
0.∴m=-
1.14.3解析 a·b=|a||b|cos30°=2··cos30°=
3.15.6解析 由2a+3b·ka-4b=2ka2-12b2=2k-12=0,∴k=
6.16.-解析 因为点O是A,B的中点,所以+=2,设||=x,则||=1-x0≤x≤1.所以+·=2·=-2x1-x=2x-2-.∴当x=时,+·取到最小值-.17.解 1∵c∥a,∴设c=λa,则c=λ,2λ.又|c|=2,∴λ=±2,∴c=24或-2,-4.2∵⊥2a-b,∴a+2b·2a-b=
0.∵|a|=,|b|=,∴a·b=-.∴cosθ==-1,∴θ=180°.18.解 由题意得a·b=|a||b|cos60°=2×3×=
3.1当c∥d,c=λd,则5a+3b=λ3a+kb.∴3λ=5,且kλ=3,∴k=.2当c⊥d时,c·d=0,则5a+3b·3a+kb=
0.∴15a2+3kb2+9+5ka·b=0,∴k=-.19.解 1∵a-b·a+b=|a|2-|b|2=1-|b|2=,∴|b|2=,∴|b|=,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.∴θ=45°.2∵|a|=1,|b|=,∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=.∴|a-b|=,又|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=.∴|a+b|=,设a-b与a+b的夹角为α,则cosα===.即a-b与a+b的夹角的余弦值为.20.解 1=35,=-11,求两条对角线的长即求|+|与|-|的大小.由+=26,得|+|=2,由-=44,得|-|=
4.2=-2,-1,∵-t·=·-t2,易求·=-11,2=5,∴由-t·=0得t=-.21.证明 如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A00,B20,C22,E12,F01.1=-=12-20=-12,=-=01-22=-2,-1,∵·=-1×-2+2×-1=0,∴⊥,即BE⊥CF.2设Px,y,则=x,y-1,=-2,-1,∵∥,∴-x=-2y-1,即x=2y-
2.同理由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-
2.解得x=,∴y=,即P.∴2=2+2=4=2,∴||=||,即AP=AB.22.证明 ∵++=0,∴+=-,∴+2=-2,∴||2+||2+2·=||2,∴·=-,cos∠P1OP2==-,∴∠P1OP2=120°.同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120°,即、、中任意两个向量的夹角为120°,故△P1P2P3是正三角形.。